Вопрос - Какие последствия могут быть при отказе уволиться по соглашению сторон в ситуации, когда у меня ребенок и жена находятся в декрете?

Вы имеете полное право отказаться, ответственности за это не предусмотрено. Предлагают увольняться по соглашению сторон, так как такое увольнение невозможно обжаловать.

разные...

Статья 80 Трудового кодекса Российской Федерации. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию) В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет. Статья 234 Трудового кодекса Российской Федерации. Обязанность работодателя возместить работнику материальный ущерб, причиненный в результате незаконного лишения его возможности трудиться Работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате: незаконного отстранения работника от работы, его увольнения или перевода на другую работу; отказа работодателя от исполнения или несвоевременного исполнения решения органа по рассмотрению трудовых споров или государственного правового инспектора труда о восстановлении работника на прежней работе; задержки работодателем выдачи работнику трудовой книжки, внесения в трудовую книжку неправильной или не соответствующей законодательству формулировки причины увольнения работника.

Вы можете не писать заявление об увольнении, и работодатель Вас не уволит. Если будете добросовестно, без нарушений работать, исполнять свои обязанности, у работодателя не будет оснований для расторжения с Вами трудового договора по его инициативе.