Имеет ли право работник бюджетной организации, работающий по договору без трудовой книжки, на ежегодный оплачиваемый отпуск?

Если по ТД--да.

Если с вами заключен трудовой договор то отпуск вам положен согласно ст. 114 ТК РФ. Ежегодные оплачиваемые отпуска Работникам предоставляются ежегодные отпуска с сохранением места работы (должности) и среднего заработка Статья 122. Порядок предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков Оплачиваемый отпуск должен предоставляться работнику ежегодно. Право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. По соглашению сторон оплачиваемый отпуск работнику может быть предоставлен и до истечения шести месяцев.