Могу ли я отказаться от мебели на заказ если в процессе транспортировки от производителя до склада выдачи мебель повредилась?

Конечно Вы имеете право отказаться от некачественного товара.

Статья 18 Закона РФ от 07.02.1992 N 2300-1 (ред. от 03.07.2016) "О защите прав потребителей" вполне позволяет это сделать:

Потребитель в случае обнаружения в товаре недостатков, если они не были оговорены продавцом, по своему выбору вправе:

потребовать замены на товар этой же марки (этих же модели и (или) артикула);

потребовать замены на такой же товар другой марки (модели, артикула) с соответствующим перерасчетом покупной цены;

потребовать соразмерного уменьшения покупной цены;

потребовать незамедлительного безвозмездного устранения недостатков товара или возмещения расходов на их исправление потребителем или третьим лицом;

отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар суммы. По требованию продавца и за его счет потребитель должен возвратить товар с недостатками.

При этом потребитель вправе потребовать также полного возмещения убытков, причиненных ему вследствие продажи товара ненадлежащего качества. Убытки возмещаются в сроки, установленные настоящим Законом для удовлетворения соответствующих требований потребителя.

Только факт дефекта при доставке следует документально зафиксировать.

Добрый вечер! Мебель на заказ - это услуга. Можете отказаться, если существенные недостатки, при этом нужно зафиксировать в акте передачи причину отказа, по возможности сфотографировать повреждения. Это нужно будет для возможного суда с производителем. Из вопроса неясно, была ли предоплата. Если была, можно требовать возврата. Основание - Закон "О защите прав потребителей".

Статья 29 1. Потребитель при обнаружении недостатков выполненной работы (оказанной услуги) вправе по своему выбору потребовать:

безвозмездного устранения недостатков выполненной работы (оказанной услуги);

соответствующего уменьшения цены выполненной работы (оказанной услуги);

безвозмездного изготовления другой вещи из однородного материала такого же качества или повторного выполнения работы. При этом потребитель обязан возвратить ранее переданную ему исполнителем вещь;

возмещения понесенных им расходов по устранению недостатков выполненной работы (оказанной услуги) своими силами или третьими лицами.

Удовлетворение требований потребителя о безвозмездном устранении недостатков, об изготовлении другой вещи или о повторном выполнении работы (оказании услуги) не освобождает исполнителя от ответственности в форме неустойки за нарушение срока окончания выполнения работы (оказания услуги).

(в ред. Федерального закона от 17.12.1999 N 212-ФЗ)

Потребитель вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги) и потребовать полного возмещения убытков, если в установленный указанным договором срок недостатки выполненной работы (оказанной услуги) не устранены исполнителем. Потребитель также вправе отказаться от исполнения договора о выполнении работы (оказании услуги), если им обнаружены существенные недостатки выполненной работы (оказанной услуги) или иные существенные отступления от условий договора.

(в ред. Федерального закона от 21.12.2004 N 171-ФЗ)

Потребитель вправе потребовать также полного возмещения убытков, причиненных ему в связи с недостатками выполненной работы (оказанной услуги). Убытки возмещаются в сроки, установленные для удовлетворения соответствующих требований потребителя.

Согласно Закону "О защите о защите прав потребителей" существенный недостаток товара (работы, услуги) - неустранимый недостаток или недостаток, который не может быть устранен без несоразмерных расходов или затрат времени, или выявляется неоднократно, или проявляется вновь после его устранения, или другие подобные недостатки.

Если мирным путем не решите, придется обращаться в суд и проводить экспертизу этих недостатков.