Я могу подавать на неё в суд, чтоб возмещала мне ущерб автомобиля?

Безусловно можете.

Девушка неправомерно завладела Вашим автомобилем (по поддельной, написанной своей рукой доверенности) и разбила его? Это - преступление, предусмотренное статьями 166, 168 УК РФ. Основания:

УГОЛОВНЫЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статья 166. Неправомерное завладение автомобилем или иным транспортным средством без цели хищения

1. Неправомерное завладение автомобилем или иным транспортным средством без цели хищения (угон) -

наказывается штрафом в размере до ста двадцати тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года, либо ограничением свободы на срок до трех лет, либо арестом на срок от трех до шести месяцев, либо лишением свободы на срок до пяти лет.

Статья 168. Уничтожение или повреждение имущества по неосторожности

Уничтожение или повреждение чужого имущества в крупном размере, совершенные путем неосторожного обращения с огнем или иными источниками повышенной опасности, -

наказываются штрафом в размере до ста двадцати тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года, либо обязательными работами на срок от ста восьмидесяти до двухсот сорока часов, либо исправительными работами на срок от одного года до двух лет, либо ограничением свободы на срок до одного года, либо лишением свободы на тот же срок.

Наличие доверенности, даже рукописной, дает Вам возможность требовать с нее возмещение ущерба.