Может ли мать, отказавшаяся от ребенка, забрать его обратно? И что для этого нужно?

Обращайтесь в отдел опеки и попечительства. С ними надо общаться и решать вопрос. Но, если ребенка уже усыновили, то ничего не поделаете. Вернуть Вы его не сможете даже судом.

Из Вашего вопроса не понятно, каким образом она "отказалась" от ребенка, судьба ребенка.

Статья 72 Семейного кодекса РФ-Восстановление в родительских правах

1. Родители (один из них) могут быть восстановлены в родительских правах в случаях, если они изменили поведение, образ жизни и (или) отношение к воспитанию ребенка.

2. Восстановление в родительских правах осуществляется в судебном порядке по заявлению родителя, лишенного родительских прав. Дела о восстановлении в родительских правах рассматриваются с участием органа опеки и попечительства, а также прокурора.

3. Одновременно с заявлением родителей (одного из них) о восстановлении в родительских правах может быть рассмотрено требование о возврате ребенка родителям (одному из них).

4. Суд вправе с учетом мнения ребенка отказать в удовлетворении иска родителей (одного из них) о восстановлении в родительских правах, если восстановление в родительских правах противоречит интересам ребенка.

Восстановление в родительских правах в отношении ребенка, достигшего возраста десяти лет, возможно только с его согласия.

Не допускается восстановление в родительских правах, если ребенок усыновлен и усыновление не отменено (статья 140 настоящего Кодекса).

5. В течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда о восстановлении в родительских правах суд направляет выписку из такого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации рождения ребенка.