
Может ли организация требовать выплату деньг с работника за непредоставление авиабилетов, которые она оплатила?

Конечно может, если авиабилеты были куплены для вашей командировки. Вы обязаны предоставить финансовый отчет после прибытия из служебной командировке, в том числе с предоставлением всех платежных документов.
Вместо авиабилетов, которые сейчас в электронном виде могут иметь место, предоставляется посадочный талон.
Если данные документы утеряны, то необходимо обратиться в авиакомпанию.
Ст.252, п.1 ст.264 НК РФ: командировочные расходы – это расходы по производству и реализации, относящиеся к прочим расходам.
Ст.313, ст.314 НК РФ: информация должна подтверждаться первичной документацией. К ним относится и отчет о командировке. Без него невозможно подтвердить произведенные расходы, в том числе выданный аванс сотруднику. Расходы принимаются к учету, согласно дате оформления отчета.