Подскажите, пожалуйста, могу ли я подать на них в суд и требовать не только моизаконных денег, но и проценты и моральный ущерб?

Здравствуйте! Конечно можете. Необходимо составить исковое заявление в суд, которое подать по месту нахождения ответчика. В исковом заявлении необходимо подробно изложить вашу ситуацию: что вы являетесь страхователем по такому-то полису, что тогда то произошло ДТП, тогда то вы обратились с заявлением, тогда то произвели осмотр, тогда то вам выплатили часть, остальное обещали выплатить тогда-то, сроки постоянно переносятся. В силу п. такого-то правил страхования, выплата должна быть произведена в течении такого-то времени.

За тем необходимо привести нормы ГК, согласно которым обязательства должны исполняться в срок это ст. 309,310 ГК.

Кроме того рассчитайте проценты за пользование чужими денежными средствами по ст. 395 ГК РФ.

От общей суммы иска оплатите пошлину и подавайте в суд.

Удачи.

Основанием для требования страховой выплаты является наличие страхового случая и выполнение со стороны гражданина Договора страхования. Поэтому для ответа на Ваш вопрос надо изучить все документы и обстоятельства дела, насколько Вы выполнили все условия Договора страхования, является ли случай страховым и соответственно имеете ли Вы право требовать в суде выплаты страховки. Если это так, то надо обращаться в суд, и при надлежащем юридическом сопровождении такие дела обычно выигрываются.