И законно ли её проживание в этой квартире без прописки, если прописанные муж и ребёнок будут жить там?

Нет нельзя, не законно

ребенка можно, а взрослого нет.

Здравствуйте, Анна!

В соответствии с п. 12 Постановления Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713 "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию", регистрация несовершеннолетних детей по месту пребывания родителей производится независимо от согласия нанимателей и всех совместно проживающих с ними членов их семей, в том числе с временно отсутствующих членов их семей, при условии проживания в домах государственного или муниципального жилого фонда.

В соответствии с п. 28 указанного Постановления, регистрация по месту жительства несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста и проживающих вместе с родителями, осуществляется на основании документов, удостоверяющих личность родителей, и свидетельства о рождении этих несовершеннолетних путем внесения сведений о них в домовые (поквартирные) книги или алфавитные карточки родителей. Указанная регистрация осуществляется с выдачей свидетельства о регистрации по месту жительства.

Таким образом, в квартире можно зарегистрировать ребенка, а его мать - нет. Однако, на основании ст. 27 Конституции РФ, каждый, кто законно находится на территории Российской Федерации, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства. Так что проживать вместе с супругом его жена вполне может.

С уважением, Татьяна.