Как уволиться без отработки при срочном переезде дочери из-за проблем с арендой квартиры?

Уволиться без отработки можно только договорившись с работодателем.

Понятия отработки вообще не существует. Можно написать заявление и уйти на больничный.

Можно ли при таких обстоятельствах уволиться без отработки?

Нет.

Наймодатель не вправе "вышвыривать" нанимателя.

Нормы права:

ГРАЖДАНСКИЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статья 687. Расторжение договора найма жилого помещения

2. Договор найма жилого помещения может быть расторгнут в судебном порядке по требованию наймодателя в случаях:

невнесения нанимателем платы за жилое помещение за шесть месяцев, если договором не установлен более длительный срок, а при краткосрочном найме в случае невнесения платы более двух раз по истечении установленного договором срока платежа;

разрушения или порчи жилого помещения нанимателем или другими гражданами, за действия которых он отвечает.

По решению суда нанимателю может быть предоставлен срок не более года для устранения им нарушений, послуживших основанием для расторжения договора найма жилого помещения. Если в течение определенного судом срока наниматель не устранит допущенных нарушений или не примет всех необходимых мер для их устранения, суд по повторному обращению наймодателя принимает решение о расторжении договора найма жилого помещения. При этом по просьбе нанимателя суд в решении о расторжении договора может отсрочить исполнение решения на срок не более года.