Должен ли оплачивать наследник за кап ремонт после смерти матери, которая была собственником квартиры.

Да. если он вступил в наследство.

Теоретически должен, практически можно не спешить так как срок на вступление в наследство 6 месяцев а за это может многое измениться. Пусть идут в суд и попробуют взыскать.

Наследник должен оплачивать все долги и чем раньше, тем лучше.

Ч. 4 ст. 1152 ГК

Принятое наследство признается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства независимо от времени его фактического принятия, а также независимо от момента государственной регистрации права наследника на наследственное имущество, когда такое право подлежит государственной регистрации.

День открытия наследства - это день смерти наследодателя.

Если платить не станете, начнут расти пени.

Ч.14 ст. 155 ЖК РФ. Лица, несвоевременно и (или) не полностью внесшие плату за жилое помещение и коммунальные услуги, обязаны уплатить кредитору пени в размере одной трехсотой ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, действующей на день фактической оплаты, от не выплаченной в срок суммы за каждый день просрочки начиная с тридцать первого дня, следующего за днем наступления установленного срока оплаты, по день фактической оплаты, произведенной в течение девяноста календарных дней со дня наступления установленного срока оплаты, либо до истечения девяноста календарных дней после дня наступления установленного срока оплаты, если в девяностодневный срок оплата не произведена. Начиная с девяносто первого дня, следующего за днем наступления установленного срока оплаты, по день фактической оплаты пени уплачиваются в размере одной стотридцатой ставки рефинансирования Центрального банка Российской Федерации, действующей на день фактической оплаты, от не выплаченной в срок суммы за каждый день просрочки. Увеличение установленных настоящей частью размеров пеней не допускается.