Судья просит письмо в свободной форме моим почерком. Имею ли я право этого не делать?

Yanika!

При определенных ситуациях суд может по свей инициативе назначить экспертизу.

Согласно ч. 1 ст. 79 ГПК РФ

При возникновении в процессе рассмотрения дела вопросов, требующих специальных знаний в различных областях науки, техники, искусства, ремесла, суд назначает экспертизу. Проведение экспертизы может быть поручено судебно-экспертному учреждению, конкретному эксперту или нескольким экспертам.

Согласно ч. 1 ст. 81 ГПК РФ

В случае оспаривания подлинности подписи на документе или ином письменном доказательстве лицом, подпись которого имеется на нем, суд вправе получить образцы почерка для последующего сравнительного исследования. О необходимости получения образцов почерка выносится определение суда.

Ст. 51 Конституции РФ-можете не представлять образцы своего почерка.