Имеет ли право председатель районного суда, т.е. суда первой инстанции решать судьбу апелляционной жалобы при ее подаче?

Если он был в роли судьи при рассмотрении дела в первой инстанции.

См.

ГПК РФ Статья 325. Действия суда первой инстанции после получения апелляционных жалобы, представления

(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. Суд первой инстанции после получения апелляционных жалобы, представления проверяет их на соответствие требованиям статей 321 и 322 настоящего Кодекса и разъясняет лицам, участвующим в деле, право представить возражения относительно них.

(часть 1 в ред. Федерального закона от 02.12.2019 N 406-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2. Лица, участвующие в деле, вправе представить в суд первой инстанции возражения в письменной форме относительно апелляционных жалобы, представления с приложением документов, подтверждающих эти возражения и направление или вручение их копий другим лицам, участвующим в деле, и вправе ознакомиться с материалами дела, с поступившими жалобой, представлением и возражениями относительно них.

(часть 2 в ред. Федерального закона от 02.12.2019 N 406-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. По истечении срока обжалования суд первой инстанции направляет дело с апелляционными жалобой, представлением и поступившими возражениями относительно них в суд апелляционной инстанции.

До истечения срока обжалования дело не может быть направлено в суд апелляционной инстанции.

Роман, если председатель рассматривал дело и если речь идет о случае пропуска процессуального срока для подачи апелляционной жалобы, то да. Суд первой инстанции может отказать в восстановлении процессуального срока. Иных оснований не имеется.

Что в вашем понимании означает решать судьбу апелляционной жалобы?

Председатель суда, если он лично принимает апелляционную жалобу может на основании ст 323 ГПК РФ оставить ее без движения

"Гражданский процессуальный кодекс Российской Федерации" от 14.11.2002 N 138-ФЗ (ред. от 31.07.2020)

ГПК РФ Статья 323. Оставление апелляционных жалобы, представления без движения

Перспективы и риски споров в суде общей юрисдикции. Ситуации, связанные со ст. 323 ГПК РФ

(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 353-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1. При подаче апелляционных жалобы, представления, не соответствующих требованиям, предусмотренным статьей 322 настоящего Кодекса, при подаче жалобы, не оплаченной государственной пошлиной, судья не позднее чем через пять дней со дня поступления жалобы, представления выносит определение, которым оставляет жалобу, представление без движения, и назначает лицу, подавшему жалобу, представление, разумный срок для исправления недостатков жалобы, представления с учетом характера таких недостатков, а также места жительства или места нахождения лица, подавшего жалобу.