Могу ли обнародовать в соцсетях аудиозапись с работником ТСЖ? По мирному не получается договориться.

Обычно, если сторонам не удается договориться по-мирному, то они обращаются в суд. И здесь возникает встречный вопрос - какова цель такого размещения в соцсетях и каково содержание беседы? От второго критерия зависит, не сделаете ли Вы сами себе ст.137 УК РФ (повторяю, это зависит от сказанного Вашим собеседником).

Можете, нарушений здесь нет никаких. А так обращайтесь в суд.