Может ли директор детского сада заставлять музыкального руководителя выходить на дежурство?

То что вы работаете на полставки совсем не означает, что вас нельзя задействовать на дежурство.

ТК РФ Статья 4. Запрещение принудительного труда

Принудительный труд запрещен.

Принудительный труд - выполнение работы под угрозой применения какого-либо наказания (насильственного воздействия), в том числе:

в целях поддержания трудовой дисциплины;

в качестве меры ответственности за участие в забастовке;

в качестве средства мобилизации и использования рабочей силы для нужд экономического развития;

в качестве меры наказания за наличие или выражение политических взглядов или идеологических убеждений, противоположных установленной политической, социальной или экономической системе;

в качестве меры дискриминации по признакам расовой, социальной, национальной или религиозной принадлежности.

К принудительному труду также относится работа, которую работник вынужден выполнять под угрозой применения какого-либо наказания (насильственного воздействия), в то время как в соответствии с настоящим Кодексом или иными федеральными законами он имеет право отказаться от ее выполнения, в том числе в связи с:

нарушением установленных сроков выплаты заработной платы или выплатой ее не в полном размере;

возникновением непосредственной угрозы для жизни и здоровья работника вследствие нарушения требований охраны труда, в частности необеспечения его средствами коллективной или индивидуальной защиты в соответствии с установленными нормами.

Если в должностной инструкции и в трудовом договоре такой обязанности нет, то при наличии Вашего согласия при соответствующей оплате.