Нужно ли применять кассу, когда парикмахерские услуги оказывает ИП на патенте?

Патентная система налогообложения устанавливается Налоговым кодексом, вводится в действие законами субъектов Российской Федерации и применяется на территориях указанных субъектов Российской Федерации.

Налогоплательщиками признаются индивидуальные предприниматели, перешедшие на патентную систему налогообложения

Переход на патентную систему налогообложения или возврат к иным режимам налогообложения индивидуальными предпринимателями осуществляется добровольно

С 01.01.2021 вступают в силу изменения, предусмотренные Федеральным законом от 23.11.2020 № 373-ФЗ:

Плательщикам ПСН также, как и плательщикам ЕНВД, предоставлено право уменьшать сумму налога, исчисленную за налоговый период, на страховые взносы;

Расширен перечень видов деятельности, в отношении которых может применятся ПСН, в том числе теми, которые применялись в рамках ЕНВД: деятельность автостоянок, ремонт, техническое обслуживание и мойка автотранспортных средств;

Увеличены ограничения по площади в отношении розничной торговли и оказания услуг общественного питания с 50 до 150 кв. м.

Применять патентную систему налогообложения можно лишь в отношении услуг, которые предоставляются только населению (письмо Минфина России от 28 декабря 2012 г. № 03-11-11/398); Вы же по агентскому договору ст.1005 гК РФ оказываете услуги не населению, поэтому не можете быть на патенте.