Как правильно поступить в ситуации с отказом больницы заключить трудовой договор и недоступностью общежития?

Если всё так как указано в вопросе, то Вам необходимо направить жалобу в прокуратуру о нарушении работодателем соответствующего закона об альтернативной службе.

Социальная защита обязанность работодателя, поэтому место и условия проживания он должен обеспечить.

Федеральный закон от 25.07.2002 N 113-ФЗ (ред. от 31.07.2020) "Об альтернативной гражданской службе"

Статья 6. Организация альтернативной гражданской службы

Организации, где предусмотрено прохождение альтернативной гражданской службы:

заключают срочные трудовые договоры с гражданами, направленными для прохождения альтернативной гражданской службы, и прекращают с ними срочные трудовые договоры;

обеспечивают в пределах своей компетенции соблюдение положений настоящего Федерального закона, осуществляют меры по реализации прав граждан, проходящих альтернативную гражданскую службу, и их социальную защиту.

Статья 16. Порядок прохождения альтернативной гражданской службы

2. Работодатель, к которому гражданин прибыл из военного комиссариата для прохождения альтернативной гражданской службы, обязан заключить с ним срочный трудовой договор на период прохождения альтернативной гражданской службы в этой организации и в трехдневный срок уведомить об этом военный комиссариат, который направил гражданина на альтернативную гражданскую службу, а также федеральный орган исполнительной власти или орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации, которому подведомственна организация.

Статья 4. Место прохождения гражданами альтернативной гражданской службы

2. Граждане проходят альтернативную гражданскую службу, как правило, за пределами территорий субъектов Российской Федерации, в которых они постоянно проживают.

При невозможности направления граждан для прохождения альтернативной гражданской службы за пределы территорий субъектов Российской Федерации, в которых они постоянно проживают, граждане в соответствии с решением специально уполномоченного федерального органа исполнительной власти могут быть направлены для прохождения альтернативной гражданской службы в организации, находящиеся на территориях субъектов Российской Федерации, в которых они постоянно проживают.