Договор безвозмездного пользования квартирой подлежит регистрации?

Нет, ни по законодательству Белоруссии, ни России не подлежит регистрации.

ЗАКОН РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 22 июля 2002 г. № 133-З "О государственной регистрации недвижимого имущества, прав на него и сделок с ним" Государственной регистрации подлежат договоры, которые являются или могут стать основанием возникновения, перехода, прекращения прав или ограничений (обременений) прав на недвижимое имущество, подлежащих государственной регистрации в соответствии с пунктом 2 статьи 8 настоящего Закона, в том числе договоры... 3.4. аренды, субаренды, безвозмездного пользования недвижимым имуществом, за исключением случаев, установленных законодательными актами;

Жилищный Кодекс Республики Беларусь. Статья 67. Безвозмездное владение и пользование жилым помещением. 1. Жилое помещение может быть временно предоставлено в безвозмездное владение и пользование. 2. Собственник, наниматель жилого помещения, гражданин, являющийся членом организации застройщиков, вправе в порядке, установленном настоящим Кодексом, предоставить занимаемое ими жилое помещение временно в безвозмездное владение и пользование гражданам (родственникам, свойственникам) с заключением договора безвозмездного пользования жилым помещением в простой письменной форме.3. Граждане, которым жилое помещение временно предоставлено в безвозмездное владение и пользование, обязаны в течение трех суток освободить занимаемое ими жилое помещение по требованию собственника жилого помещения, нанимателя жилого помещения, гражданина, являющегося членом организации застройщиков, и (или) проживающих совместно с ними совершеннолетних членов их семей, а в случае отказа они подлежат выселению с проживающими совместно с ними гражданами в судебном порядке без предоставления другого жилого помещения. 4. Жилые помещения государственного жилищного фонда могут находиться в безвозмездном пользовании организаций негосударственной формы собственности, созданных в процессе разгосударствления и приватизации государственной собственности, преобразования государственных унитарных предприятий в открытые акционерные общества, а также в иных случаях, установленных Президентом Республики Беларусь.