Оплачивают ли проезд в основную часть отпуска сотруднику ФСИН, если он ехал на автомобиле с родственниками?

Если условия соблюли и документы предоставили - да.

Приказ ФСИН России от 08.09.2020 N 637 Об утверждении Порядка оплаты проезда сотруднику уголовно-исполнительной системы Российской Федерации, проходящему службу в районах Крайнего Севера, приравненных к ним местностях и других местностях с неблагоприятными климатическими или экологическими условиями, в том числе отдаленных, или в учреждениях и органах уголовно-исполнительной системы Российской Федерации, дислоцированных в субъекте Российской Федерации, входящем в Уральский, Сибирский или Дальневосточный федеральный округ, либо за пределами территории Российской Федерации, а также одному из членов его семьи к месту проведения основного (каникулярного) отпуска по территории (в пределах) Российской Федерации и обратно

10. Оплата расходов по проезду в отпуск на личном транспорте производится как сотруднику, так и члену его семьи при документальном подтверждении пребывания в месте проведения отпуска в размере фактически произведенных расходов на оплату стоимости израсходованного топлива, но не выше стоимости проезда в плацкартном вагоне поезда любой категории, а при отсутствии железнодорожного сообщения - автомобильным транспортом на основании справок транспортных организаций (агентств, осуществляющих продажу билетов) на дату выезда исходя из кратчайшего маршрута следования.

Для оплаты расходов по проезду в отпуск на личном транспорте сотрудником дополнительно предоставляется копия свидетельства о регистрации транспортного средства (паспорта транспортного средства), подтверждающего регистрацию транспортного средства на сотрудника (члена его семьи).

Скорее всего нет, как показывает наша практика. Автомобиль должен быть ЛИЧНЫМ И бухгалтерия цепляется за это слово. Как минимум принадлежать супруге или детям. Что бы оплатили, необходимо договор аренды ТС оформить. (в простой письменной форме)