Ответственность по статье 325 ч.1 УК РФ - только за уничтожение, похищение, сокрытие или повреждение чужих документов?

Нет, это неправда, про чужие документы имеет место ч. 2 ст. 325 УК РФ

2. Похищение у гражданина паспорта или другого важного личного документа -

наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо арестом на срок до трех месяцев.

Там указывается, что похищение, а равно уничтожение, повреждение или сокрытие паспорта или другого важного личного документа не могут квалифицироваться по части 1 статьи 325 УК РФ (похищение, уничтожение, повреждение или сокрытие официальных документов, штампов или печатей).

Т.е. если мужчина уничтожит свой паспорт или иной документ чтобы не жениться или свой диплом, чтобы не работать когда жена гонит на работу, то это повлечет уголовную ответственность?

Песня Укупника "про съеденый паспорт" получается призыв к совершению преступления?

А причем тут добровольное. Там поется про приготовление или покушение на преступление 325 УК РФ, гражданин четко заявляет о личном нематериальном интересе уничтожить официальный документ путем поедания с целью избежать брака, вероятно не решаясь дать мотивированный отказ.

Полагаю, что описываемое деяние является малозначительным. Вроде это как раз тот случай, состав материальный, все компоненты состава есть, но общественной опасности нет.