Без завещания - что будет с квартирой пожилой соседки, за которой ухаживала молодая женщина?

Вы не можете наследовать квартиру.

Могу ли я претендовать на квартиру?

Разумеется, Вы можете "претендовать" на всё, что угодно.

Но на квартиру могут претендовать только наследники.

Здравствуйте Алиса, нет к сожалению, если нет завещания.

Вы не можете наследовать квартиру.

К сожалению нет. В данном случае нужно только завещание.

Алиса,

Единственный теоретический вариант наследования посторонним человеком вот какой.

ГК РФ Статья 1148. Наследование нетрудоспособными иждивенцами наследодателя

1. Граждане, относящиеся к наследникам по закону, указанным в статьях 1143 - 1145 настоящего Кодекса, нетрудоспособные ко дню открытия наследства, но не входящие в круг наследников той очереди, которая призывается к наследованию, наследуют по закону вместе и наравне с наследниками этой очереди, если не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении, независимо от того, проживали они совместно с наследодателем или нет.

2. К наследникам по закону относятся граждане, которые не входят в круг наследников, указанных в статьях 1142 - 1145 настоящего Кодекса, но ко дню открытия наследства являлись нетрудоспособными и не менее года до смерти наследодателя находились на его иждивении и проживали совместно с ним. При наличии других наследников по закону они наследуют вместе и наравне с наследниками той очереди, которая призывается к наследованию.

3. При отсутствии других наследников по закону указанные в пункте 2 настоящей статьи нетрудоспособные иждивенцы наследодателя наследуют самостоятельно в качестве наследников восьмой очереди.

Таким образом, должны выполняться выделенные мной условия.

И это надо доказать в суде.