Можно ли уволиться по собственному желанию дистанционно с магазина пятерочка, без отработки устроилась официально 3-недели назад?

Если испытательный срок установлен трудовым договором и он еще идет, то можете требовать увольнения за 3 дня. На счет дистанционности увольнения - нужно разбираться, что именно Вы имеете ввиду, но по закону после подачи заявления Вы можете болеть или быть в отпуске и срок для предупреждения об увольнении от этого меняться не должен (уволят также через 3 дня после подачи заявления)

Да, можно, направьте заявление об увольнении по обычной почте, например заказным письмом (Письмо Роструда от 05.09.2006 N 1551-6) или по электронной почте, но такое заявление подписывается усиленной квалифицированной или усиленной неквалифицированной электронной подписью в соответствии с законодательством об электронной подписи (ч. 1 ст. 312.3 ТК РФ).

Работник должен предупредить об увольнении по собственному желанию, как правило, не менее чем за две недели до увольнения (ч. 1 ст. 80 ТК РФ). Иной срок предупреждения установлен, в частности (Доклад о профилактике нарушений (утв. Рострудом)):

для работников в период испытания - не позднее чем за три дня (ч. 4 ст. 71 ТК РФ)...

Ну если отработка выпадет на выходные или на больничный, то можете так уволиться. Можете направить почтой, но срок отработки начнет течь с момента получения работодателем письма.