Подскажите, пожалуйста, может ли он без моего «разрешения» увозить ребёнка и не сообщать куда они едут.

Здравствуйте, если порядок общения с ребёнком не определён судом, то имеет при условии что ребёнку не причиняется никакой вред.

Имеет право если без вреда.

Как видите , согласно статьи 61 СК РФ родители имеют абсолютно равные право в отношении своих детей

В этой связи вы не наделены право давать или не давать подобные разрешения

Если вас что то не устраивает тогда нужно будет определять порядок общения в судебном порядке. Чтобы суд принял вашу сторону вы согласно статье 56 ГПК РФ должны доказать что предложенный Вами порядок общения полностью соответствует интересам вашего ребенка

"Семейный кодекс Российской Федерации" от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 31.07.2023) (с изм. и доп., вступ. в силу с 26.10.2023)

СК РФ Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей

КонсультантПлюс: примечание.

О выявлении конституционно-правового смысла п. 1 ст. 61 см. Постановление КС РФ от 14.04.2022 N 15-П.

1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

2. Родительские права, предусмотренные настоящей главой, прекращаются по достижении детьми возраста восемнадцати лет (совершеннолетия), а также при вступлении несовершеннолетних детей в брак и в других установленных законом случаях приобретения детьми полной дееспособности до достижения ими совершеннолетия.