И в каком законе можно почитать об этом и на что ссылаться?

Это возможно. Ссылайтесь на п. 28 Порядка прохождения несовершеннолетними медицинских осмотров, в том числе при поступлении в образовательные учреждения и в период обучения в них (утвержден Приказом Министерства здравоохранения РФ от 21 декабря 2012 г. № 1346н) Предварительные осмотры проводятся в медицинских организациях независимо от их организационно-правовой формы, оказывающих первичную медико-санитарную помощь несовершеннолетним и имеющих лицензию на осуществление медицинской деятельности, предусматривающую выполнение работ (оказание услуг) по «медицинским осмотрам (предварительным, периодическим)», «педиатрии» или «общей врачебной практике (семейной медицине)», «неврологии», «офтальмологии», «травматологии и ортопедии», «детской хирургии», «психиатрии», «оториноларингологии»*(3) или «оториноларингологии (за исключением кохлеарной имплантации)», «акушерству и гинекологии»*(3) или «акушерству и гинекологии (за исключением использования вспомогательных репродуктивных технологий)», «стоматологии детской» или «стоматологии»*(4), «детской урологии-андрологии» или «урологии»*(4), «детской эндокринологии» или «эндокринологии»*(4), «лабораторной диагностике», «клинической лабораторной диагностике», «функциональной диагностике», «ультразвуковой диагностике» и «рентгенологии».

Приказ Минздрава России от 10.08.2017 N 514н (ред. от 19.11.2020) "О Порядке проведения профилактических медицинских осмотров несовершеннолетних" не содержит запрета на прохождение медосмотра несовершеннолетним в частных медицинских организациях.

Удачи.

Порядок проведения профилактических медицинских осмотров несовершеннолетних (далее – Порядок) утвержден приказом Минздрава России от 10.08.2017 № 514н.

Согласно п 10 Порядка профилактические осмотры проводятся медицинскими организациями независимо от их организационно-правовой формы, оказывающими первичную медико-санитарную помощь несовершеннолетним и имеющими лицензию на осуществление медицинской деятельности, предусматривающую выполнение работ (оказание услуг) по "медицинским осмотрам профилактическим", "педиатрии" или "общей врачебной практике (семейной медицине)", "неврологии", "офтальмологии", "травматологии и ортопедии", "детской хирургии" или "хирургии"*(5), "психиатрии", "стоматологии детской" или "стоматологии общей практики"*(5), "детской урологии-андрологии" или "урологии"*(5), "детской эндокринологии" или "эндокринологии"*(5), "оториноларингологии (за исключением кохлеарной имплантации)", "акушерству и гинекологии (за исключением использования вспомогательных репродуктивных технологий)", "лабораторной диагностике", "клинической лабораторной диагностике", "функциональной диагностике", "ультразвуковой диагностике" и "рентгенологи"

Таким образом, нет запрета на обследование в частной клинике.