Купили дом на мат капитал и гос поддержка молодая семья, сами в этом доме не проживаем, там проживает бабушка

Можно. Законом не запрещено.

Может проживать, т.к. это не запрещено

Проживание бабушки в доме, приобретенном с использованием материнского капитала (ст. 10 ФЗ №256-ФЗ) и субсидии по программе "Молодая семья" (п. 4 ст. 57 ЖК РФ, Постановление Правительства №1050), допустимо при соблюдении условий: 1) дом оформлен в общую собственность всех членов семьи (родителей и детей, п. 4 ст. 10 ФЗ №256-ФЗ); 2) не нарушаются права детей на жилье (п. 3 ст. 60 СК РФ). Проверки целевого использования жилья проводятся редко, но при выявлении нецелевого использования субсидию могут потребовать вернуть (п. 11 ст. 57 ЖК РФ).

1) Убедитесь, что дом зарегистрирован в Росреестре на всех членов семьи, включая детей (ст. 131 ГК РФ); 2) Пропишите детей в доме (ст. 20 ГК РФ), если это их единственное жилье; 3) Подготовьте документы на случай проверки: выписку из ЕГРН, свидетельства о рождении детей, квитанции об оплате ЖКУ, подтверждающие использование жилья семьей. Срок хранения документов — минимум 3 года (ст. 29 ФЗ №402-ФЗ "О бухучете").

Бабушка может проживать в доме, если соблюдены требования закона к оформлению собственности и правам детей. Для защиты от претензий сохраняйте документы, подтверждающие использование жилья семьей. При проверке обращайтесь в ПФР (по маткапиталу) или местную администрацию (по программе "Молодая семья") с указанными документами. В случае спора о нецелевом использовании субсидии обжалуйте решение через суд в течение 3 месяцев (ст. 219 КАС РФ).

заработать сам должен