Как мне поступить, если муж набирает долги и оформляет кредитные карты без моего ведома? Грозят ли мне выплаты за его долги?

вы не обязаны платить за мужа кредиты но, если при разводе и долги будут поделены пополам.

Если не являетесь поручителем по кредиту, то к вам не могут быть предъявлены требования по погашению кредитов

Рассылайте в данные кредитные организации заявления о том, что своего согласия Вы на кредиты не давали и деньги муж берет на собственные нужды. Дело не в регистрации (прописке, по Вашему), а в том, что Вы, как законная супруга отвечаете по долгам мужа, если деньги были использованы на нужды семьи. В случае суда, Вам придется доказывать тот факт, что он тратил деньги на личные нужды, поэтому Вы не обязаны отвечать по его долгам. Семейный кодекс РФ.

Статья 45. Обращение взыскания на имущество супругов

1. По обязательствам одного из супругов взыскание может быть обращено лишь на имущество этого супруга. При недостаточности этого имущества кредитор вправе требовать выдела доли супруга-должника, которая причиталась бы супругу-должнику при разделе общего имущества супругов, для обращения на нее взыскания.

2. Взыскание обращается на общее имущество супругов по общим обязательствам супругов, а также по обязательствам одного из супругов, если судом установлено, что все, полученное по обязательствам одним из супругов, было использовано на нужды семьи. При недостаточности этого имущества супруги несут по указанным обязательствам солидарную ответственность имуществом каждого из них.