Задержанного в нетрезвом состоянии на работе слесаря могут уволить по статье 81 ТК РФ

Нет, поскольку он был задержан после своего рабочего времени. Врямя, необходимое для приведения в порядок орудий производства и одежды в рабочее время не включается.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 17 марта 2004 г. N 2 "О применении судами Российской Федерации Трудового кодекса Российской Федерации"

42. При разрешении споров, связанных с расторжением трудового договора по подпункту "б" пункта 6 статьи 81 Кодекса (появление на работе в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения), суды должны иметь в виду, что по этому основанию могут быть уволены работники, находившиеся В РАБОЧЕЕ ВРЕМЯ в месте выполнения трудовых обязанностей в состоянии алкогольного, наркотического или иного токсического опьянения. При этом не имеет значения, отстранялся ли работник от работы в связи с указанным состоянием.

Необходимо также учитывать, что увольнение по этому основанию может последовать и тогда, когда работник в РАБОЧЕЕ ВРЕМЯ находился в таком состоянии не на своем рабочем месте, но на территории данной организации либо он находился на территории объекта, где по поручению работодателя должен был выполнять трудовую функцию.

Состояние алкогольного либо наркотического или иного токсического опьянения может быть подтверждено как медицинским заключением, так и другими видами доказательств, которые должны быть соответственно оценены судом.