Влияют ли старые долги на финансовое положение новой жены и возможные способы взыскания с нее судебными приставами?

нет, не имеют права

Согласно Семейному кодексу РФ:

Статья 45. Обращение взыскания на имущество супругов

1. По обязательствам одного из супругов взыскание может быть обращено лишь на имущество этого супруга. При недостаточности этого имущества кредитор вправе требовать выдела доли супруга-должника, которая причиталась бы супругу-должнику при разделе общего имущества супругов, для обращения на нее взыскания.

2. Взыскание обращается на общее имущество супругов по общим обязательствам супругов, а также по обязательствам одного из супругов, если судом установлено, что все, полученное по обязательствам одним из супругов, было использовано на нужды семьи. При недостаточности этого имущества супруги несут по указанным обязательствам солидарную ответственность имуществом каждого из них.

По обязательствам одного из супругов взыскание может быть обращено на имущество, находящееся в его собственности, а также на его долю в общем имуществе супругов, которая причиталась бы ему при разделе этого имущества (ст. 256 ГК РФ). При этом на долю в общем имуществе может быть обращено взыскание только при недостаточности у собственника другого имущества. Требование о выделе доли должника в общем имуществе для обращения на нее взыскания вправе предъявить кредитор (взыскатель) участника долевой или совместной собственности (ст. 255 ГК РФ).