Математики EPFL в сотрудничестве с Университетом Пердью решили вопрос 30-летней давности о сферах и четырехмерных пространствах. Полученные результаты проливают новый свет на "класс Эйлера", один из самых мощных инструментов для понимания сложных пространств.
Для математиков класс Эйлера является одним из самых мощных инструментов для понимания сложных пространств путем их разрезания на более простые части. Он назван в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, который первым рассмотрел эту идею.
"Подобно тому, как нечто сложное, например, ДНК, состоит из простых атомов, именно то, как эти простые части собираются, содержит важную информацию, а не сами части", - говорит профессор Николя Монод, возглавляющий исследовательское подразделение эргодической и геометрической теории групп в EPFL. Его группа объединила усилия с коллегами из Университета Пердью, чтобы решить старый вопрос о сферах. Ответ был опубликован в математическом журнале Inventiones mathematicae.
В 1958 году Филдсовский медалист Джон Милнор заметил проблему при попытке построить пространства, используя только круги и двумерные поверхности: существует предел того, насколько сложным может быть класс Эйлера в двух измерениях. Это наблюдение переросло в целую область исследований в более высоких измерениях, и математики быстро поняли, что "предел сложности" Милнора не применим для пространств всех измерений.
Монод объясняет: "Вопрос, который оставался открытым в течение десятилетий, звучал так: "А как насчет склеивания сфер в четырехмерных пространствах? Существует ли и здесь ограничение на то, как они подходят друг другу?". Он продолжает: "Склеивание сфер на 4-мерных пространствах - особенно важная конструкция, потому что именно так были построены самые первые "экзотические сферы"".
Классические подходы к пониманию пространств оказались неспособными решить этот 4-мерный вопрос. Поэтому математики EPFL обратились за вдохновением к процессу Бернулли, названному в честь швейцарского математика Якоба Бернулли. Процесс Бернулли, который представляет собой модель бросания монет, был объединен с изучением сфер и класса Эйлера для окончательного решения вопроса.
"Когда мы взялись за решение этой проблемы, произошла очень любопытная вещь", - говорит Монод. "Если она оставалась нерешенной так долго, то, возможно, потому, что ни один из классических методов, используемых для понимания пространств, не был способен решить этот специфический вопрос о четырех измерениях. Вместо этого мы обратились за вдохновением к маловероятному источнику: бросанию монет".
Как игра с шансами 50 на 50 угадать правильную сторону монеты, это может показаться очень простым, но простота вводит в заблуждение. "Процесс Бернулли уже включает в себя многие из передовых свойств теории вероятности, когда мы задаемся целью повторять бросок все чаще и чаще", - говорит Монод. "На самом деле, центральная предельная теорема - которая является своего рода законом больших чисел - даже говорит нам, что эта простая модель может имитировать многие из самых сложных случайных явлений природы, если мы готовы подбрасывать монеты достаточно долго".
Может показаться, что вероятность и случайные процессы не имеют особого отношения к анализу более высоких измерений пространства, но математика - это такое же творческое искусство, как и наука. "Ранее в этом году мы опубликовали открытие, что случайные игры Бернулли с монетами могут помочь решить некоторые сложные алгебраические вопросы, очень неслучайные вопросы", - говорит Монод. "Теперь это было объединено с изучением сфер и класса Эйлера, чтобы наконец-то решить старый вопрос о четырехмерных пространствах: нет, не существует никаких ограничений на размер класса Эйлера для сфер в четырех измерениях".
"Итак, монеты пришли на помощь алгебре и геометрии, а Бернулли посещает класс Эйлера: действительно, математики поступают по-разному", - заключает он.
