
Имеет ли право коммерческая организация с согласия работника заключать с ним только трудовой договор и не оформлять трудовую книжку?

Нет, не оформлять трудовую книжку имеет право только работодатель - физическое лицо (подтверждением трудового стажа будет являться трудовой договор). Все остальные работодатели обязаны вести трудовые книжки на своих работников, проработавших в организации свыше 5 дней, в случае, если, работа в этой организации является для работника основной. Поэтому согласие самого работника на отказ от оформления трудовой книжки роли не играет. Если же будет оформлен договор гражданско-правового характера, например, договор подряда, тогда оформление трудовой книжки не производится.
С уважением,

Имеет ли право на отпуск работник, оформленный по трудовому договору (завхоз), не в штате, без записи в трудовую книжку.

Если договор трудовой, то должны быть и отпуск, и отпускные, и запись в трудовую книжку, и оформление в штат.

Имеет ли право работодатель не давать своего согласие на расторжение с ним трудового договора до истечения 2-х месячного.

Да, имеет.
До истечения срока работник будет вправе уволиться по собственному желанию.

Имеет ли право работодатель не заключать с работником очередной трудовой договор без основания?

Увы, имеет полное право...

Имеет ли право работодатель заключать новый договор с работником, в связи с переименованием организации и сменой адреса?

Нет, это не обязательно.

Имеет ли право заведующая д/с не отдавать мне трудовой договор и хранить его у себя?

Ваш экземпляр вам должен быть выдан.

Нет, не имеет; напишите жалобу в трудовую инспекцию и прокуратуру.

Имеет ли право ЖКХ взимать с меня плату за вывоз мусора, если я не заключала с ними договор.

Да, имеют, если вы выбрасываете ТБО на контейнерные площадки. До 1 января 2016 года вывоз мусора относится к содержанию жилого помещения.

Может ли ИП заключить трудовой договор с работником без трудовой книжки и не платить страховые взносы.

Нет, если речь идёт именно о трудовом договоре, то должна быть представлена трудовая книжка, куда будет сделана соответствующая запись. Взносы платить придётся.

Без записи в трудовой книжке можно, если заключён не трудовой а гражданско-правовой договор, но взносы платить все равно необходимо.