Можно ли продать приватизированную квартиру и купить другую без использования материнского капитала?

Да, можете так сделать.

На сайте ПФР есть раздел "получателям МСК", там есть разъяснения, на какие именно улучшения жилищных условий можно направить средства материнского (семейного) капитала:

приобретение жилого помещения;

строительство или реконструкция объекта индивидуального жилищного строительства (ИЖС) с привлечением строительной организации;

строительство или реконструкция объекта индивидуального жилищного строительства без привлечения строительной организации;

компенсация затрат за построенный или реконструированный объект индивидуального жилищного строительства;

уплата первоначального взноса при получении кредита (займа), в том числе ипотечного, на приобретение или строительство жилья;

погашение основного долга и уплата процентов по кредитам или займам на приобретение или строительство жилья, в том числе ипотечным;

уплата цены по договору участия в долевом строительстве;

платеж в счет уплаты вступительного взноса и (или) паевого взноса, если владелец сертификата.

Ваша ситуация не подходит. Приобрести за счет МСК нельзя ДОЛЮ в квартире, а именно жилое помещение. В частных домах, где хотят выкупить долю, обычно вначале заявляют иск в суд о разделе дома в натуре, выделе доли, присвоении ей отдельного номера квартиры и потом эту квартиру покупают за счет МСК. Т.к. доля- это не какое-то определенное жилое помещение. А купить можно только жилое помещение.

см. www.pfrf.ru