Математика вызывает страх у очень многих людей, но все мы рождаемся с чувством чисел.
Он приходит в восторг, когда говорит об особой формуле числа пи, знаменитом и загадочном отношении длины окружности к ее диаметру. Он показывает мне отрывок из шоу National Geographic, где Нил Деграсс Тайсон спрашивает его, как бы он передал красоту математики обычному человеку на улице.
В ответ он показал Тайсону, а позже и мне, так называемую непрерывную дробь для числа пи, которая немного похожа на математическую забавную прихожую с зеркалами. Вместо одного числа в числителе и одного в знаменателе знаменатель дроби также содержит дробь, а знаменатель этой дроби также содержит дробь, и так далее, и так далее, до бесконечности. Написанная формула выглядит как лестница, которая сужается по мере того, как вы спускаетесь по ее ступеням в погоне за неуловимым числом пи. Вычисление, независимо приписываемое британскому математику Леонарду Джею Роджерсу и индийскому математику—самоучке Шринивасе Рамануджану, не включает в себя ничего более сложного, чем сложение, деление и возведение в квадрат чисел. “Как ты мог не сказать, что это потрясающе?” Оно, заведующий кафедрой математики в Университете Вирджинии, спрашивает меня через Zoom.
Мы могли бы перестроить математическое образование таким образом, чтобы оно поддерживало, а не подрывало процесс обучения.
Как коллега—энтузиаст пи — я хорошо известен среди друзей тем, что устраиваю вечеринки с пирогами в День Пи - я должен был согласиться с ним, что это потрясающая формула. Но не все видят красоту в дробях или в математике в целом. На самом деле, здесь, в Соединенных Штатах, математика часто внушает больше страха, чем благоговения. В 1950-х годах некоторые учителя начали наблюдать у студентов явление, которое они назвали математической фобией,1 хотя это была лишь одна из длинного списка академических фобий, которые они наблюдали у студентов. По некоторым оценкам, сегодня почти 1 из 5 взрослых американцев страдает от высокого уровня математической тревожности,2 а исследование, проведенное в 2016 году, показало, что 11 процентов студентов университетов испытывали “достаточно высокий уровень математической тревожности, чтобы нуждаться в консультации”3.
Согласно одному исследованию 2020 года, проведенному в Стэнфорде и Чикагском университете, математическая тревожность, как правило, коррелирует с худшими результатами по математике во всем мире.4 Хотя остается много вопросов о первопричинах, оценки по математике в средней школе в Соединенных Штатах, как правило, значительно ниже, чем во многих других странах. Например, в 2018 году американские студенты заняли 30-е место в мире по своим баллам по математике на экзамене PISA, международной оценке, которая проводится каждые три года.
Некоторые ученые утверждают, что насыщенность американской культуры негативными стереотипами о математике в сочетании с современными подходами к преподаванию предмета усиливают тревожность, заставляя некоторых детей думать, что они плохо разбираются в математике, и мешают им добиться успеха. Исследования показывают, что люди рождаются с врожденным чувством чисел, известным как количество.5 Понятие числа - одна из немногих высокоуровневых когнитивных функций, которая привязана к определенной области мозга. Другими словами, мы готовы к элементарной математике, но культура мешает. Недавние нейробиологические, поведенческие и когнитивные исследования могут помочь нам перестроить математическое образование таким образом, чтобы оно поддерживало, а не подрывало обучение, и даже внушало любовь к таинственной элегантности математики на этом пути.
Предмет “математика" имеет далеко идущие и широкие масштабы — он охватывает все, от подсчета простых чисел до алгебраической топологии. Но на самом зачаточном уровне наука предполагает, что все мы рождаемся с чувством количества.6 Человеческие младенцы способны понять эту концепцию уже в возрасте 6 месяцев, задолго до того, как они серьезно познакомятся с человеческой культурой или языком. Считается, что это невербальное восприятие чисел является строительным материалом для более поздних математических способностей как в детстве, так и во взрослом возрасте.7 В одном исследовании исследователи обнаружили, что 3-летние дети, у которых в младенчестве было более развито интуитивное восприятие чисел, значительно лучше справлялись с тестами по математике, даже когда исследователи контролировали общий интеллект. А исследование, проведенное в 2013 году Джанку Пак и психологом Элизабет Брэннон, которые в то время работали в Университете Дьюка, показало, что студенты могут улучшить свои знания по математике с помощью обучения, включающего их способность оценивать величины.8
Эта способность оценивать и понимать количество, возможно, развилась как базовый навык выживания. Это могло бы помочь нашим предкам и представителям других видов быстро оценить, например, были ли они в меньшинстве от хищников, или искать пищу в местах с более доступной пищей по сравнению с другими. Андреас Нидер из Тюбингенского университета в Германии, который изучал восприятие чисел у различных видов, считает, что когнитивная система восприятия чисел развивалась независимо и параллельно у таких видов, как обезьяны, птицы и насекомые, которые находятся далеко друг от друга на эволюционном древе. Голубей можно научить постукивать клювом определенное количество раз по доске.9 Дельфины, по-видимому, способны понимать числовое понятие “меньше”10, а пчелы, согласно одному исследованию, могут понимать понятие “ноль".11
ИЗ ЛЮБВИ К ПИ: неуловимое число вдохновляет многих любителей математики. Кен Оно, заведующий кафедрой математики Университета Вирджинии, когда его спросили, как бы он передал красоту математики обычному человеку, упоминает формулу для числа пи, которая одновременно проста и сложна. Иллюстрация дизайнера Аль Мамуна / Shutterstock.
Однако, по-видимому, среди ученых существует консенсус в отношении того, что только люди мысленно представляют числа точно и с помощью символов, и что для этого нам нужно какое-то образование. Потенциально это связано с тем, что многие высшие математические навыки, включая арифметику, зависят от использования языка — системы, основанной на символах, - где суждения, основанные на количестве, являются дословными.5 Действительно, арифметику трудно выполнять, если у вас нет для этого языка. Например, в одном исследовании 2004 года изучались носители амазонского языка мундуруку, в котором нет слов для чисел больше 5, и было обнаружено, что носители языка не преуспевают “в точной арифметике с числами больше 4 или 5”12. Исследование 2013 года в журнале Trends in Neuroscience and Education сравнило сравнительные математические способности обученных и необученных взрослых людей Запада и обнаружили значительные различия в их способностях аппроксимировать большие числы 13.
Если у нас есть врожденная способность понимать математику и признавать ее важность для понимания мира, почему так много людей — в основном в западной культуре — испытывают к ней отвращение? Ученым, изучающим математику и математическое образование, трудно ответить на этот вопрос.
Возможно, это связано с тем, как мы в США склонны концептуализировать математические способности. Люди на Западе часто говорят: “Я плохо разбираюсь в математике”, как будто это черта характера или даже знак почета. По сравнению с другими школьными предметами, “Я думаю, что у людей более фиксированное мышление по этому поводу”, как будто у них “ручка повернута в определенную сторону”, - говорит Джордан Элленберг, профессор математики в Университете Висконсин-Мэдисон и автор книги "Форма: скрытая геометрия информации", Биология., Стратегия, Демократия и Все Остальное. “Это довольно серьезное заблуждение”, - добавил он.
Конечно, у некоторых детей действительно есть клинические нарушения в обучении, которые не вызваны тревогой, культурными мифами или плохим обучением. Дискалькулия развития, клинический термин, обозначающий человека с нарушениями в обучении, связанными с математикой, поражает от 3 до 7 процентов населения. Это менее известный аналог дислексии, неспособности к обучению, связанной с чтением, и эти два состояния часто возникают вместе.
Люди на Западе часто говорят: “Я плохо разбираюсь в математике”, как будто это черта характера.
Но вера в то, что вы плохо разбираетесь в математике, может стать самоисполняющимся пророчеством. Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что культурные представления о том, что женщины менее искусны в математике, чем мужчины, могут во многом объяснять гендерный разрыв в успеваемости по математике. Расовые стереотипы также могут подорвать производительность. Эбони МаКги, профессор разнообразия и STEM-образования в Университете Вандербильта, потратила более десяти лет на изучение проблем системного расизма в областях STEM. В своей книге “Черные, коричневые и в синяках: Как расовое STEM-образование душит инновации” она отмечает, что чернокожие, коренные и латиноамериканские студенты регулярно сообщают об опыте "изоляции, ощущения себя самозванцем", а также о других расовых предубеждениях, которые отвлекают их от учебы и истощают их энергию.
Математическая тревога может передаваться от учителей и родителей и детям. “Данные из Соединенных Штатов свидетельствуют о том, что дети, которые взаимодействуют со взрослыми с высокой математической тревожностью, демонстрируют ухудшенную успеваемость по математике по сравнению со своими сверстниками”, - пишут авторы исследования 2017 года.4 Придерживаясь подхода, согласно которому дети должны получать вознаграждение за то, что они борются и тратят время на изучение математических понятий, а не только за правильные ответы, Джо Боалер и ее коллеги из Стэнфордского университета разрабатывают онлайн-ресурс для родителей под названием Struggly. “Нейробиология очень ясно показывает, что каждый находится на пути роста”, - сказал Боалер. “Нет никакого отрезка там, где кто-то становится одаренным”.
