Введение: Две арифметики – прирожденная и присвоенная
Как часто мы, педагоги и родители, торопимся вложить в ребенка готовые знания, подобные монетам в копилку, забывая, что у него уже есть своя, внутренняя, «естественная» валюта мышления. Проблема обучения счету и математике кроется не в неспособности детей усваивать правила, а в нашем неумении построить мост между двумя континентами: врожденными, спонтанными математическими интуициями ребенка и культурно-историческим наследием формальной математики, тем, что Лев Семенович Выготский называл «культурными орудиями мышления».
Ребенок, выкладывающий в ряд камушки, и Архимед, вычисляющий объем короны; малыш, требующий «половинку» яблока, и Пифагор, созерцающий гармонию числовых отношений – все они соприкасаются с одной и той же универсальной субстанцией, именуемой Числом. Однако путь от спонтанного, «природного» взаимодействия с количеством к овладению культурными математическими инструментами – это сложнейший диалектический процесс. Его осмысление является краеугольным камнем эффективного математического воспитания. Как точно подметил Жан Пиаже: «Ребенок – не сосуд, который нужно заполнить, а огонь, который нужно зажечь». Наша задача – не затушить этот огонь преждевременными догмами, а разжечь его, обеспечив топливом культурного опыта.
1. Наличие естественной арифметики у детей: дар эволюции
Еще до того, как ребенок произнесет слово «один», он уже является обладателем того, что Станислас Деан в своей великолепной книге «Числовой смысл» называет «мозговым чувством числа». Это невербальная, приблизительная система оценки количества, своего рода «ментальная линейка» с грубыми делениями.
Новорожденные уже способны отличать множество из 20 предметов от множества из 10. Младенцы удивляются, если кукла плюшевого мишки, скрытая за ширмой, появляется в единственном числе, а не в двух экземплярах (знаменитые эксперименты Карен Уинн). Это свидетельствует о наличии примитивных операций сложения и вычитания.
«Человек обладает природной способностью к математике, так же как птица к полету» – утверждает американский психолог и нейробиолог Брайан Баттерворт. Эта способность – наш эволюционный багаж, позволяющий оценить количество спелых плодов на дереве или численность приближающегося соперника.
Вывод: Ребенок приходит в мир не с «чистого листа», а с врожденным «аппаратом» для приблизительной оценки количеств. Это фундамент, на котором будет строиться всё здание формальной математики.
2. Феномен естественной (спонтанной) арифметики у детей
До всякого формального обучения ребенок является активным исследователем количественных отношений окружающего мира. Это не открытая таблица, а скорее «внутренний математик», обладающий дочисловыми квантитативными представлениями.
Суть явления: Естественная арифметика – это система интуитивных, допонятных и досимволических способностей к оценке, сравнению и оперированию количествами. Она базируется на двух врожденных системах, описанных современной когнитивной психологией:
1. Система приблизительного представления о числе (приблизительная система счисления – ANS): Позволяет без счета «на глаз» оценивать и сравнивать множества («здесь яблок больше, чем там»). Точность этой системы растет с возрастом.
2. Система точного представления малых количеств (подразделяющий): Способность мгновенно, без пересчета, определять количество объектов в небольших множествах (обычно до 4-5).
Эти системы – дар эволюции, общий для человека и многих животных. Они являются тем природным фундаментом, на котором будет воздвигнуто здание культурной математики. Ребенок оперирует не абстрактными цифрами, а целостными образами, жестами, телесными опорами («вот столько же пальчиков»). Его мышление в этой области, по выражению Л.С. Выготского, является синкретичным – слитным, нерасчлененным.
Естественная арифметика – это россыпь золотого песка, в котором уже содержатся крупицы драгоценного металла (понимание количества), но еще нет оформленных слитков-понятий и инструментов для их обработки.
3. Построение траектории перехода: от интуитивного к культурному счёту
Как же построить мост от этой смутной, приблизительной «естественной арифметики» к точной, символической «культурной арифметике»? Этот переход – суть математического развития.
Ключевой метафорой здесь могут послужить «строительные леса» (scaffolding), concept, введенный Джеромом Брунером. Задача взрослого – не навязывать готовые схемы, а создать поддерживающую структуру, которая позволяет ребенку самостоятельно подняться на следующий уровень понимания.
Траектория строится через опредмечивание абстрактного понятия числа. Число «три» – это не просто цифра 3. Это:
• три яблока;
• три хлопка в ладоши;
• три шага до двери;
• три точки на грани игрального кубика.
Через манипуляции с предметами, через движение и игру ребенок открывает для себя инвариантность числа: три предмета останутся тремя, независимо от того, как близко или далеко они друг от друга лежат. Это открытие, по Жану Пиаже, – краеугольный камень операционального мышления.
4. Построение траектории плавного перехода: От интуиции к культурной норме
Главная педагогическая ошибка – игнорирование этого природного фундамента и попытка построить здание сразу с первого этажа формальных правил. Задача педагога – выстроить прочный мостик между спонтанными представлениями ребенка и культурными средствами (цифрами, знаками операций, алгоритмами).
Принципы построения траектории:
• Принцип амплификации (А.В. Запорожец): Не преждевременное обучение, а обогащение, максимальное развитие и «усиление» спонтанных форм познания через игровую, практическую деятельность.
• Принцип сотрудничества (Л.С. Выготский): Взрослый выступает не как контролер, а как партнер и носитель культурного опыта в зоне ближайшего развития ребенка. Мы делаем вместе то, что ребенок пока не может сделать один.
• Принцип постепенной символизации: Переход от манипуляции с конкретными предметами (яблоки, кубики) к оперированию их изображениями, затем – к графическим схемам и знакам, и лишь в конце – к чисто символическим записям (3 + 2 = 5).
Педагог – архитектор и строитель этого моста. Опоры моста – это ведущая деятельность (для дошкольника – игра, для младшего школьника – учебная деятельность). Пролеты моста – это последовательно усложняющиеся дидактические задачи.
5. От естественного счета к культурному мышлению: роль языка и символа
Естественный счет ребенка – это часто ритмический перебор, пение, жест. Культурный счет – это овладение универсальной знаковой системой. Ключевым моментом перехода является интериоризация – превращение внешних действий во внутренние, умственные.
Сначала ребенок считает, перекладывая предметы. Затем он считает, указывая пальцем. Позже он считает кивками головы или движением глаз. И, наконец, счет становится полностью внутренним, свернутым актом мысли.
Спонтанный счет ребенка – это частый ритуал. Он может механически пересчитывать предметы от одного до десяти, но не понимать, что последнее названное число и есть итоговое количество (феномен, известный как «досчётный этап»).
Культурный счет – это овладение мощным культурным орудием. Язык и символы (цифры) позволяют совершить когнитивную революцию в сознании ребенка.
«Слово является не только выражением мысли, но и означает мышления… Ребенок усваивает не просто речь, но и новое мышление» – Этюд Выготского о развитии высших психических функций здесь как никогда актуален. Цифра «5» – это не просто ярлык, это инструмент, который позволяет оперировать количеством, не прикасаясь к реальным предметам.
Цифры становятся «костылями» для точного мышления, вытесняя неточные ментальные образы. Ребенок переходит от мышления о вещах к мышлению о отношениях между символами, что является сутью алгебраического мышления.
6. Проблема обучения счету и способы ее разрешения
Главная проблема традиционного обучения – его формализм и отрыв от естественных интуиций. Мы заставляем детей заучивать таблицу умножения как магическое заклинание, не дав им возможности самостоятельно открыть ее закономерности через сложение равных групп.
Способы разрешения:
1. Принцип амплификации (А.В. Запорожец): не ускорение (акселерация), а обогащение (амплификация) развития ребенка через полноценное проживание каждого возрастного этапа в игре, конструировании, рисовании.
2. Игра как ведущая деятельность: сюжетно-ролевые игры («магазин», «кулинария»), где счет и измерение являются необходимым условием, а не скучным упражнением.
3. Математизация окружающего мира: совместное с ребенком обнаружение математических закономерностей в природе (симметрия листа, количество лепестков), в музыке (ритм), в архитектуре (формы).
4. Ошибка как ресурс: анализ детских ошибок не с позиции «неправильно», а с позиции «интересно, почему он так подумал?». Это окно в его когнитивный мир.
7. Развитие представлений о числе: генетическая линия
Развитие не линейно, а стадиальное. Можно выделить условные этапы:
• Досчётный (примерно 2-3 года): глобальная оценка количества («много» – «мало»).
• Вербальный счет (3-4 года): заучивание числовой последовательности как стишка, без связи с количеством.
• Соотнесение с количеством (4-5 лет): понимание принципа «один к одному» и кардинального значения числа (последнее число при счете обозначает общее количество).
• Операции с числами (5-7 лет): наглядное сложение и вычитание, понимание состава числа.
• Абстрактные операции (младшая школа): переход от манипуляций с предметами к операциям с символами.
На каждом этапе ключевая опора на наглядные модели: числовая линейка, диаграммы, палочки Кюизенера, блоки Дьенеша.
8. Математическое воспитание: философия подхода
Математическое воспитание дошкольников и младших школьников – это не подготовка к ЕГЭ. Это формирование математического отношения к миру – любознательного, гибкого, творческого.
Это воспитание:
• Гибкости ума: способности видеть множественные пути решения задачи.
• Точности мысли и слова: стремления к ясности и определенности.
• Структурного видения: умения видеть закономерности и связи.
• Настойчивости и алгоритмической дисциплины: способности следовать шагам и не бояться сложных задач.
«Математика — это не о том, чтобы быстро считать, это о том, чтобы глубоко мыслить» – это высказывание, приписываемое многим математикам, должно стать девизом для педагога. Мы воспитываем не счетоводов, а мыслителей.
Вывод
Путь ребенка в мир математики – это увлекательное путешествие от прирожденных, смутных интуиций к мощным, точным культурным инструментам. Задача взрослого – не тащить его по этому пути за руку, торопливо показывая на конечную точку, а быть внимательным проводником, который:
1. Признает и ценит изначальный «естественный математический потенциал» ребенка.
2. Выстраивает прочные строительные леса для перехода от манипуляции с предметами к оперированию символами, используя игру, диалог и совместную деятельность.
3. Понимает генетическую последовательность развития математических понятий и не перескакивает через этапы.
4. Видит конечной целью не усвоение набора алгоритмов, а воспитание гибкого, структурного и творческого математического мышления как неотъемлемой части картины мира личности.
Математика – это гуманитарная наука. Это язык, на котором говорит вселенная, и наша задача – помочь ребенку не просто выучить не понятные слова этого языка, а почувствовать его красоту и мощь и начать на нем свободно мыслить.
Переходите сюда - https://dzen.ru/id/6831c07336caa62da841ac34 - МОЙ КАНАЛ на ДЗЕН. ( Читайте, подписывайтесь, делайте комментарии, ставьте лайки, рассылайте ссылку на канал своим друзьям, знакомым, родственникам, распространяйте на всех площадках интернета).
