Требуют оплату доставки багажа

Здравствуйте! 20.11.18 произошла следующая ситуация. Возвращались из Тбилиси домой до Тюмени (путь: Тбилиси-Пулково-Домодедово-Рощино), в аэропорту Тбилиси мы успешно прошли регисирацию, сдали багаж и нам сказали что он долетит до тюмени (к сведению, из тюмени в тбилиси так и было, без каких либо наших вмешательств, путь был Рощино-Домодедово-Сочи-Тбилиси). По прибытию в Пулково, на стойке регистрации нас просили подождать, т.к. багаж «еще возможно не приехал», мы ждали сначала 3 минуты, потом 10 и т.д., после этого нас пропустили в зал ожидания просто так, не узнав что с нашим багажом. Через час, мы прошли к стойкам снова, персонал опять не знал где багаж и просил ждать, ждали примерно 40 минут, позже одна из девушек вместе с нами сходила на таможенный контроль, ей ответили что у них ничего нет. После, нас просто отправили на рейс, сказав «не знаем что с вашим багажом, летите так». По прибытии в Домодедово по багажу тоже ничего не было известно и так же в Рощино.
21.11.18 днем, стало известно, что багаж все же в Пулково и мы должны были забрать его с ленты, а потом переставить на рейс до Москвы, о чем мы не знали, т.к. (см.выше) и никто из персонала не сказал нам о данном варианте действий, не смотря на то, что мы говорили им о транзитности багажа, откуда и куда он летит.
Сейчас нам предложили прислать багаж заграничным рейсом в следующий понедельник, за что мы должны будем заплатить по 4€ - 1 кг багажа (всего 17 кг), но мы не считаем это честным, т.к. имеет место некомпетентность персонала. О своей ошибке знаем.
В связи с текстом выше вопрос, можно ли как-то попросить пулковский аэропорт (? Или кто должен этим заниматься) оплатить провоз багажа? И что вообще можно сделать в данной ситуации?

В данный момент при звонке в аэропорт Пулково нам ничего конкретного не сообщают, только то, что могут отпрвить багаж и нам вообще нужно обращаться в АК которой мы летели
АК (Уральские авиалинии) посылает нас звонить в аэропорт, говоря, что багажом не занимается