Мэр Москвы Сергей Собянин жестко ограничил передвижение жителей столицы. О том, что случилось бы, если бы эти или подобные меры не ввели, говорят результаты моделирования, которое провел по просьбе «Медузы» доцент МГУ Михаил Тамм. На ту же модель ориентировались власти штата Иллинойс, принимая решение о введении жесткого карантина в Чикаго. Вывод исследования: в столице России необходимо — и как можно раньше — резкое сокращение контактов между людьми. Только так можно подавить эпидемию, не допустить перегрузки медицинских учреждений и избежать тысяч жертв. «Медуза» публикует исследование Михаила Тамма с прогнозами развития эпидемии в Москве
НО ДЛЯ НАЧАЛА
Главное о модели и выводах из нее
Модель SEIR — самый распространенный инструмент для прогнозирования эпидемий и действия мер по их подавлению. В 2020 году модель была доработана Ричардом Нейером и его сотрудниками в Базельском университете с учетом особенностей эпидемии нового коронавируса. Расчеты по этому варианту SEIR, в частности, использовались при принятии решения о введении ограничительных мер в штате Иллинойс и в его крупнейшем городе Чикаго.
Основное свойство модели SEIR — наличие так называемого эпидемического перехода: модель ведет себя радикально по-разному в зависимости от показателя R₀ — среднего числа людей, которых один зараженный успевает заразить за время, пока сам не выздоровеет. При R₀ меньше единицы эпидемия затухает, при показателе больше единицы заражается значительная часть населения. Значение R₀ зависит от особенностей вируса, доли населения, получившей иммунитет (в результате вакцинации или пережитого заболевания), а также мер по подавлению эпидемии (различные формы карантина).
Моделирование показывает, с какой скоростью будет распространяться эпидемия, сколько будет заразившихся, жертв, а также больных в критическом состоянии. Последний показатель можно сравнить с мощностями медицинской системы и определить, способна ли она справиться с наплывом пациентов, нуждающихся в специализированной помощи: в случае с коронавирусом это реанимация, искусственная вентиляция легких и т. д.
Доработанная для COVID-19 модель учитывает все основные параметры эпидемии:
-долю тяжелых больных и уровень летальности в зависимости от возраста больных. Поскольку тяжелые случаи чаще встречаются у пожилых, учитывается возрастная структура населения;
-длительность инкубационного периода и заразной фазы болезни;
-неполную регистрацию зараженных из-за большой распространенности бессимптомного протекания болезни и недостаточного тестирования;
-возможные сезонные изменения заразности вируса;
-возможные меры сдерживания и подавления эпидемии и их влияние на R₀;
-мощности медицинской системы города — количество аппаратов ИВЛ и коек в реанимационных отделениях больниц.
На основе именно этой модели был составлен документ, ставший основой для жесткого карантина в одном из крупнейших городов США — Чикаго — и во всем штате Иллинойс.
Как закрывали Иллинойс
Информация о первом заболевшем в Иллинойсе появилась 24 января 2020 года — спустя три дня после сообщения о первом зараженном коронавирусом в США. 18 марта, когда количество выявленных случаев достигло 288, Сергей Маслов и Найджел Голденфельд из Института геномной биологии имени Карла Р. Войса при Иллинойсском университете в Урбана-Шампейне сделали приблизительные расчеты развития эпидемии и опубликовали препринт с результатами моделирования на серверах arxiv и MedArxiv. Применив модель SEIR, они пришли к выводу, что только жесткие ограничительные меры могут снизить количество жертв и предотвратить коллапс медицинской системы; но и они не будут достаточно эффективны, если их применить слишком поздно. В случае Чикаго критической датой было названо 1 апреля. Запрет на выход из дома без необходимости позволит сократить количество умерших к сентябрю более чем в шесть раз: с 7445 до 1151.
Результаты моделирования, представленные Масловым и Голденфельдом, вызвали интерес у властей Иллинойса. Прислушавшись к ним, 20 марта губернатор штата Джей Роберт Прицкер подписал указ о введении в штате жестких ограничительных мер. Кроме мер, аналогичных московским (закрытие ресторанов, баров и отмена массовых мероприятий), был введен запрет на нахождение людей на улицах. Выйти можно только в магазин, в аптеку или в банк; разрешены также занятия бегом и велопрогулки, но только при соблюдении безопасной дистанции между людьми. Полностью запрещены собрания групп численностью более 10 человек.
Сейчас подтвержденные случаи коронавируса есть во всех 50 штатах; в стране действует режим чрезвычайного положения. Но только в 15 штатах введены ограничительные меры разной степени строгости. С 27 марта, когда количество заболевших превысило 85 тысяч, США лидируют в мире по заражению коронавирусом. К 30 марта умерли 2513 человек. Хуже всего ситуация в Нью-Йорке: на более чем 32 тысячи заболевших приходится 678 смертей (в штате Нью-Йорк — уже 59 тысяч заболевших и 965 умерших). Жесткие ограничительные меры в Нью-Йорке были введены в тот же день, что и в Чикаго. К тому времени зарегистрированных случаев в штате Нью-Йорк было в 15 раз больше, чем в штате Иллинойс.
В Иллинойсе, по данным на 27 марта, выявлено три тысячи случаев коронавируса (34 заболевших умерли), из них — почти полторы тысячи заболевших и 12 умерших в Чикаго. Как будет дальше развиваться эпидемия и насколько точными оказались прогнозы Маслова и Голденфельда, сказать пока невозможно: инкубационный период коронавирусной инфекции составляет от 5 до 14 дней.
В случае если бы власти Москвы и России не предприняли никаких мер сдерживания, к сентябрю в столице от коронавируса умерли бы 117 тысяч человек. Пик эпидемии пришелся бы на середину мая, после чего она затухла бы сама (из-за того, что большая часть населения переболела и приобрела иммунитет). На пике потребовалось бы 48 тысяч реанимационных коек (в реальности в городе в марте было 2,5 тысячи коек).
Слабые меры сдерживания эпидемии, вроде тех, что были введены властями до 28 марта, снизили бы количество умерших за время эпидемии до 92 тысяч человек, а количество критических больных составит 32 тысячи на пике эпидемии (он случится позже, чем в варианте без сдерживания, — в начале июня), так что медицинская система не сможет оказать помощь всем нуждающимся. И это при условии, что второй волны эпидемии не произошло бы.
Радикально изменить ситуацию могли только жесткие меры подавления эпидемии, включающие запрет на выход на улицы без необходимости и наказания за нарушение карантина. Но их эффект критически зависит от сроков введения таких мер: поскольку это сделано на этой неделе, от коронавируса умрет всего 250 человек, а в реанимации на пике (в середине апреля) единомоментно окажется не более 80 больных. Если бы жесткий карантин ввели позже, количество умерших и потребность в койках реанимации выросли бы на порядок.
А ВОТ САМО ИССЛЕДОВАНИЕ
Коронавирусная инфекция в Москве: прогнозы и сценарии
I. Принципы моделирования эпидемий. Модели SIR, SEIR и их модификации
В условиях стремительно развивающейся эпидемии COVID-19 большое внимание естественным образом привлекают математические модели, описывающие возможное развитие событий: ситуация меняется стремительно, и власти, и публика в целом нуждаются в каких-то ориентирах, на которых они могли бы основывать принимаемые решения. К счастью, соответствующая область науки довольно хорошо развита и у ученых есть достаточно внятное понимание того, как именно описывать распространение болезни.
Базовой моделью для описания распространения эпидемий, если угодно «золотым стандартом», является так называемая модель SIR, от английских слов Susceptible (уязвимый), Infected (зараженный), Recovered (выздоровевший). Эта модель предложена шотландскими эпидемиологами Кермаком и Маккендриком в 1920-х годах, она хорошо изучена, подробное изложение можно найти во многих учебниках, неплохое изложение есть в статье в Википедии.
В этой модели все население делится на группы (компартменты) в зависимости от своего отношения к болезни: уязвимые (S), зараженные (I) и выздоровевшие ®. С течением времени возможны переходы S → I (заражение) и I → R (выздоровление).
В простейшей версии модели предполагается, что:
-Количество выздоровлений в единицу времени пропорционально общему числу зараженных (каждый заразившийся имеет фиксированную вероятность выздороветь в единицу времени).
-Количество заражений пропорционально произведению числа зараженных и числа уязвимых. Это последнее предположение основано на идее, что заражение происходит при «опасных» контактах, то есть контактах уязвимых и заразившихся. Если общее число контактов между людьми в популяции в единицу времени постоянно и если популяция хорошо перемешана, то доля «опасных» контактов пропорциональна произведению числа заразившихся людей и числа уязвимых.
В модели SIR есть два существенных параметра: характерное время t — типичное время выздоровления и коэффициент воспроизводства R₀ — отношение скоростей заражения и выздоровления (можно понимать этот параметр как среднее число людей, которых один зараженный успевает заразить за время, пока сам не выздоровеет).
Главной особенностью модели SIR является эпидемический переход: поведение эпидемии радикально отличается в зависимости от того, R₀ больше или меньше единицы.
При R₀ < 1 эпидемия затухает, при R₀ > 1 она распространяется и охватывает существенную часть населения (какую в точности — зависит от конкретного значения R₀, но речь про десятки процентов, например, при R₀ = 2 общее число переболевших оказывается равно примерно 80%).
В случае если часть населения вакцинирована от болезни, эпидемический переход смещается вверх по R₀, так что при достаточно высокой доле вакцинированных распространение эпидемий прекращается. Это явление называется «групповой иммунитет» и лежит в основе кампаний массовой вакцинации населения.
Модель SIR дает базовое качественное понимание динамики распространения инфекционных заболеваний, но для количественного моделирования этой динамики требуются различные уточнения, учитывающие особенности протекания конкретных болезней. В частности, важной особенностью многих болезней является наличие инкубационного периода, в течение которого человек уже является носителем болезни, но не демонстрирует симптомов и не является заразным для окружающих. Эта особенность может быть учтена разделением группы зараженных (Infected) на две подгруппы — экспонированных (Exposed), то есть зараженных, но находящихся в стадии инкубационного периода, и заразных (Infectious), — так что последовательность переходов между состояниями вместо S → I → R становится S → E → I → R. Соответствующая модель носит в литературе название SEIR.
Кроме того, если, помимо собственно динамики заражения, мы хотим, что естественно в случае эпидемии COVID-19, оценить нагрузку на систему здравоохранения и количество жертв болезни, нужно ввести ряд дополнительных состояний пациентов, находящихся по времени после состояния «заразный», такие, например, как «тяжело больной» (нуждается в госпитализации), «в критическом состоянии» (нуждается в искусственной вентиляции легких) и «умерший».
Результаты моделирования, приведенные ниже, основаны на расширенной модели SEIR с рядом таких дополнительных состояний, предложенной Р. Нейером из Университета Базеля специально для описания распространения нового коронавируса. Эта модель реализована в виде компьютерной программы для моделирования эпидемии COVID-19. В разделе About можно найти полную информацию о содержании и параметрах модели.
II. Оценка параметров модели для Москвы
Для корректного моделирования эпидемии, помимо адекватной базовой модели, необходимо правильно подобрать ее количественные параметры. Часть этих параметров связаны с биологией вируса и являются универсальными, что позволяет воспользоваться имеющимися данными по другим регионам. Другие параметры являются специфичными для конкретного города или региона, и их нужно подбирать, ориентируясь на локальные данные. Ниже перечислены основные параметры модели, от более универсальных к более локальным.
1. Инкубационный период и заразный период
Известно, что средняя длительность инкубационного периода для COVID-19 составляет около пяти дней (Lauer SA et al. Ann Intern Med 2020 Mar 10). Время, в течение которого человек не имеет симптомов, но уже заразен, установлено несколько хуже, но ориентировочно составляет около трех дней (Y.F.W. Chan et al., Lancet, 395, 514, 2020; J.T. Wu et al., Lancet, 395, 689, 2020). Эти параметры естественно считать присущими вирусу самому по себе, а следовательно — универсальными для всех регионов распространения эпидемии.
2. Регистрация заболевания, тяжесть его протекания и смертность
Главной особенностью COVID-19 является то, что тяжесть протекания болезни существенно зависит от возраста заболевших. Известно, что в очень большой доле случаев у молодых пациентов болезнь протекает бессимптомно или очень легко. Нет сомнений, что это повсюду приводит к существенно заниженной регистрации заболевших. Сверх того, ситуация с регистрацией существенно различна в разных странах, так как зависит от локальной доступности тестирования и протоколов доступа к нему. Точное число переболевших можно установить только проведением анализа на антитела в большой популяционной выборке. На сегодня таких исследований нигде не проводилось, так что всякие предположения об общем числе переболевших являются в лучшем случае информированными догадками.
Тем не менее любая количественная модель должна задаться тем или иным предположением о связи истинного и наблюдаемого уровней заболеваемости. В модели Нейера эта связь определяется набором некоторых зависящих от возраста коэффициентов. Полный набор их конкретных значений приведен в разделе Severity assumptions and age-specific isolation; здесь остановимся лишь на важнейших деталях.
Предполагается, что от 50 (среди пациентов старше 80 лет) до 95 (среди детей и подростков) процентов заболевших болеют достаточно легко для того, чтобы заболевание не было протестировано и зарегистрировано. Представление о такой большой доле нерегистрируемых случаев кажется разумным, так как иначе не представляется возможным объяснить радикальное расхождение в летальности COVID-19 в странах с выборочным (Италия, Испания) и относительно полным (Корея, Скандинавия) тестированием.
Оценка повозрастных коэффициентов смертности для болеющих в тяжелой форме основана на опубликованных данных по статистике протекания болезни примерно у 70 тысяч пациентов в Китае в декабре — феврале. Для оценки коэффициентов смертности в конкретной стране или регионе используются данные о распределении населения по возрастам в данном регионе. На данный момент на neherlab.org в автоматическом режиме доступны данные о распределении по возрастам для России, именно они использовались при предварительных автоматических расчетах, после чего поправки на различия между возрастными пирамидами России и Москвы вносились автором вручную.
3. Сезонность
Известно, что другие распространенные в человеческой популяции коронавирусы обладают некоторой сезонностью: соответствующие заболевания чаще встречаются зимой, чем летом. Предлагается, что заразность коронавируса несколько (на 20%) увеличивается зимой (с максимумом 1 января) и настолько же снижается летом (с минимумом 1 июля). Для краткосрочных прогнозов это несколько второстепенный фактор, так как при такой сезонности в конце марта — начале апреля заразность должна быть примерно равна среднегодовой. Однако для среднесрочных прогнозов на несколько месяцев вперед этот фактор имеет значение.
7.8М
