Разыскивали ли пропавших людей в средневековой Европе?
Системно в Средние века не разыскивали даже преступников — просто не было соответствующих органов: ближе к Новому времени потихоньку начнёт появляться нечто подобное, но настоящий сыск сложится лишь в XIX веке (первоначально во Франции и Англии). Что уж тут говорить о пропавших людях.
Но то "системно", то есть на уровне постоянно действующего аппарата, за то прямо ответственного, со структурированной работой. В целом же задачи поиска что преступника, что какого-нибудь беглого крепостного, что просто пропавшего человека в силу своей очевидной актуальности решаться могла — вопрос только в том, как именно. Всё зависело здесь от двух факторов: степени мотивации на поиск и уровня организованности общества с властью в регионе, где всё происходит. Варианты любые — от распространения объявлений до создания розыскных групп с мощностями и полномочиями.
Просто всё это делалось в общем случае именно что не системно, не какими-то постоянно ответственными за это людьми — а "кому поручат" из числа подчинённых человека при власти, инициировавшего процесс. Соответственно, заниматься мог кто угодно: любое ответственное лицо на службе феодала (включая короля), церкви или просто каких-нибудь богатых людей/организаций (банкирский дом, скажем).
Поэтому ответ на ваш вопрос — разыскивали, но от случая к случаю. Когда было очень надо и возможности имелись (в плане людей, которые этим займутся, и ресурсов). А так, как это происходит сейчас — нет.