Если дом был приобретен в браке, то он является совместно нажитым имуществом, и Ваш бывший муж имеет право на долю в праве собственности. Следовательно, без его участия Вы продать дом не сможете. Если этот дом был приобретен Вами до брака (или уже после того, как брак был расторгнут), или в период брака, но Вам его подарили, он перешел к Вам по наследству, то Вы совершенно спокойно можете продать дом без участия Вашего бывшего мужа. Регистрация (прописка) в доме кого бы то ни было не является препятствием для сделки. Более того, член семьи бывшего собственника при переходе права собственности утрачивает право пользования недвижимым имуществом. То есть после продажи дома Ваш муж утратит право пользования домом, если Вы его продадите.

Дом купила под матиринский капитал, но бывший муж сразу свою долю подарил сыну.

Если я Вас правильно поняла, то речь идет о фактическом принятии наследства? Если да, то Вам нужно установить факт принятия наследства фактически (в суде). Это значит, что Вы должны пользоваться имуществом умершего, в том числе нести бремя его содержания. То есть оплачивать коммунальные платежи, производить ремонт и т.д. Но это касается только того имущества, которое находится в собственности граждан. К муниципальному имуществу это не относится. Справку о том, что Вы проживали совместно с умершем отцом Вам никто не даст. Если Вы зарегистрированы вместе с отцом, то Вы можете получить справку о регистрации по месту жительства.

Завещание может быть написано в пользу любого лица, независимо от того является ли это лицо родственником наследодателя или нет.