Как остаться работать по прописке после окончания медицинского института по целевому направлению в другом городе?

Вы не имеете такого права остаться не отрабатывать родном городе, если в вашем договоре это условие не оговорено и нет на это согласия второй стороны

---нет не можете смотрите основания.

Статья 421. Свобода договора[Гражданский кодекс РФ] [Глава 27] [Статья 421]

1. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора.

Понуждение к заключению договора не допускается, за исключением случаев, когда обязанность заключить договор предусмотрена настоящим Кодексом, законом или добровольно принятым обязательством.

2. Стороны могут заключить договор, как предусмотренный, так и не предусмотренный законом или иными правовыми актами.

Статья 450. Основания изменения и расторжения договора

[Гражданский кодекс РФ] [Глава 29] [Статья 450]

1. Изменение и расторжение договора возможны по соглашению сторон, если иное не предусмотрено настоящим Кодексом, другими законами или договором.

2. По требованию одной из сторон договор может быть изменен или расторгнут по решению суда только: 1) при существенном нарушении договора другой стороной;

2) в иных случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, другими законами или договором.

Существенным признается нарушение договора одной из сторон, которое влечет для другой стороны такой ущерб, что она в значительной степени лишается того, на что была вправе рассчитывать при заключении договора.