Скажите, мне нужна справка из загса для распределения, могут ли нас расписать за 1 день?

К сожалению, не могут. При особых обстоятельствах брак может быть заключен в день подачи заявления: беременности, рождения ребенка, непосредственной угрозы жизни одной из сторон и других особых обстоятельств. Распределение это не особое обстоятельство.

Смотря где вы живете. Думаю, навряд ли.