Поумничаем? Поговорим о сокращениях. Как будет правильно?

ФИО - общеупотребимая аббревиатура. Сокращение же Ф. И. О. - не входит в перечень общеупотребимых, загромождает деловой документ, усложняет его прочтение.

Верно: Ф. И. О.

Также допустим вариант ф. и. о..

Правописание сокращений регламентирует приложение к «Русскому орфографическому словарю» под редакцией Лопатина.

Обратите внимание, что во всех сокращениях после точки нужен пробел: в т. ч., т. е., и т. д., т. к.. Сокращенные слова не перестают быть словами.

А ещё число «Ф. И. О.» — множественное.

Укажите ваши Ф. И. О.

Я думаю, Ф. И. О. пишется с точками и пробелами, что подсказывает простая логика. Точки заменяют окончания слов, а между словами всегда стоит пробел - фамилия имя отчество, значит и в сокращенном варианте пробелы ставить необходимо.

После точки всегда ставится пробел, в т. ч. в сокращениях и инициалах. Исключение: когда после точки идёт другой знак препинания (скобка, запятая и т. п.).