Обязан ли собственник не жилого помещения заключить договор с управляющей компанией (УК)?

Можете не заключать. С Вас все через суд и без договора взыщут.

В соответствии с ч. 2 ст. 153 ЖК РФ обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение.

Согласно п. 12 Постановления Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 27.06.2017 г. № 22 «О некоторых вопросах рассмотрения судами споров по оплате коммунальных услуг и жилого помещения, занимаемого гражданами в многоквартирном доме по договору социального найма или принадлежащего им на праве собственности», наниматели и собственники обязаны вносить плату за содержание и текущий ремонт общего имущества в многоквартирном доме независимо от факта пользования общим имуществом, например лифтом. Отсутствие письменного договора управления у собственника с управляющей организацией не освобождает его от внесения платы за содержание общего имущества.

Никто Вам убирать не должен - ни возле магазина, ни тем более внутри. Что касается мусора, Вам никто не мешает выбрасывать его в общие мусорные баки, как остальные жильцы. Но у Вас же наверняка отдельный договор на мусор, а значит добровольно согласились платить одно и тоже.

Что касается отсутствия радиаторов - необходимо смотреть технический паспорт дома и помещения, было ли проведено переустройство в соответствии с законом или нет. Также по теплу Вы можете требовать проведение перерасчета, как и за те услуги, которые якобы Вам оказываются. Все что должна делать управляшка - это постановление правительства № 491 и постановления госстроя № 170. Там очень большой перечень.