Можно ли поставить на учет машину с переваренной номерной чашкой если уголовное дело прекращено.

Нет, не поставите. Приказ МВД РФ от 24 ноября 2008 г. N 1001:

…

3. Не подлежат регистрации в Госавтоинспекции и не проводятся регистрационные действия с транспортными средствами по следующим основаниям:

представлены документы и (или) сведения, не соответствующие требованиям законодательства Российской Федерации, а также содержащие недостоверную информацию;

представлены транспортные средства, изготовленные в Российской Федерации, в том числе из составных частей конструкций, предметов дополнительного оборудования, запасных частей и принадлежностей, или ввезенные на ее территорию сроком более чем на шесть месяцев, без представления документов, подтверждающих проведение их сертификации в соответствии с законодательством Российской Федерации, либо подтверждающих их выпуск на территории Таможенного союза без ограничений по их пользованию и распоряжению или с таможенными ограничениями, установленными таможенными органами;

представлены транспортные средства, конструкция которых или внесенные в конструкцию изменения не соответствуют требованиям законодательства Российской Федерации в области обеспечения безопасности дорожного движения или сведениям, указанным в представленных документах;

обнаружены признаки скрытия, подделки, изменения, уничтожения идентификационной маркировки, нанесенной на транспортные средства организациями-изготовителями, либо подделки представленных документов, несоответствия транспортных средств и номерных агрегатов сведениям, указанным в представленных документах, или регистрационным данным, а также при наличии сведений о нахождении транспортных средств, номерных агрегатов в розыске или представленных документов в числе утраченных (похищенных);

наличие запретов и ограничений на совершение регистрационных действий, наложенных в соответствии с законодательством Российской Федерации;

отсутствуют в паспорте транспортного средства отметки об уплате утилизационного сбора в соответствии с пунктом 6 статьи 24.1 Федерального закона от 24 июня 1998 г. N 89-ФЗ "Об отходах производства и потребления", или об основании неуплаты утилизационного сбора, или об обязательстве обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты транспортными средствами своих потребительских свойств, взятом на себя организацией - изготовителем колесных транспортных средств, включенной на момент выдачи паспорта транспортного средства в реестр организаций - изготовителей колесных транспортных средств, принявших обязательство обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты транспортными средствами своих потребительских свойств, предусмотренный Правилами принятия организациями - изготовителями колесных транспортных средств обязательства обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты указанными транспортными средствами своих потребительских свойств, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 30 августа 2012 г. N 870 "Об утилизационном сборе в отношении колесных транспортных средств", за исключением колесных транспортных средств, на которые паспорта транспортных средств выданы до 1 сентября 2012 года;

наличие в паспорте транспортного средства соответствующего колесного транспортного средства отметки о принятии обязательства организацией - изготовителем колесных транспортных средств, не включенной на дату выдачи паспорта в реестр организаций - изготовителей колесных транспортных средств, принявших обязательство обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты транспортными средствами своих потребительских свойств, предусмотренный Правилами принятия организациями - изготовителями колесных транспортных средств обязательства обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты указанными транспортными средствами своих потребительских свойств, утвержденными постановлением Правительства Российской Федерации от 30 августа 2012 г. N 870 "Об утилизационном сборе в отношении колесных транспортных средств", обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты колесными транспортными средствами своих потребительских свойств, за исключением колесных транспортных средств, на которые паспорта транспортных средств выданы до 1 сентября 2012 года;

если при изменении регистрационных данных колесных транспортных средств, связанных с заменой номерных агрегатов, представлены номерные агрегаты с транспортных средств, за которые ранее не осуществлено взимание утилизационного сбора в отношении колесных транспортных средств или по которым организацией - изготовителем транспортных средств не принято обязательство обеспечить последующее безопасное обращение с отходами, образовавшимися в результате утраты указанными транспортными средствами своих потребительских свойств, за исключением номерных агрегатов, использовавшихся в комплекте колесных транспортных средств, паспорта на которые выданы до 1 сентября 2012 года.

...

Есть шанс поставить на учет через суд, положительная практика имеется