Будет ли она иметь право на проживание в кваритре?

Олеся! Оспорить дарение сын имеет право ,но очень трудно ему надо будет доказать в суде ,что бабушка не понимала значения своих действии.

Существует статья 578 Гражданского кодекса РФ, где указано ряд положений, позволяющих дарителю отменить дарение. Например, одаряемый совершил покушение на его жизнь, жизнь кого-либо из членов его семьи или близких родственников, либо умышленно причинил дарителю телесные повреждения. Даритель вправе потребовать отмены дарения, если обращение одаряемого с подаренной вещью, представляющей для дарителя большую неимущественную ценность, создает угрозу ее безвозвратной утраты. В договоре дарения может быть предусмотрено право дарителя отменить дарение в случае, если он переживает одаряемого. Одним из общих оснований признания сделки недействительной является ее не соответствие требованиям закона или иному правовому акту. А именно несоблюдение государственной регистрации. Такая сделка является ничтожной. Договор, предусматривающий передачу дара одаряемому после смерти дарителя, также ничтожен. Наряду с этим существуют и общие положения, предусмотренные Гражданским кодексом о признании договора недействительным 168-179 Гражданского кодекса РФ.

В договоре с правом проживание вы можете указать,но это уже и ограничение в свидетельстве о собственности будет указано. Лучше просто "даритель" зарегистрирован по этому адресу,без проживание.