Можно ли на нее подать в суд о распространении сведений не соответствующих действительности и как?

Кирилл! Если соседка с маниакальным упорством пишет заявления «во все места», предъявить ей в соответствии с действующим законодательством, к сожалению, нечего. Каждый гражданин в силу ст. 33, 45 Конституции РФ имеет право обращаться в любые государственные органы, если считает свои права нарушенными, а органы ОБЯЗАНЫ проводить проверку сообщённых сведений. Содержащиеся в этих обращениях сведения не являются с точки зрения закона порочащими. Если факты не подтверждаются, то и дела никакого нет. Если же соседка распространит порочащие Вас сведения в СМИ, вот тогда Вы сможете потребовать от неё опровержения этих сведений через суд и взыскания компенсации нравственных и физических страданий, если они у Вас были.

На первый взгляд (с ваших слов) в действиях вашей соседки есть состав преступления "клевета".

С другой строны у каждого гражданина РФ есть констутиционное право обратиться в компетентные органы с вопросами и просьбами проверки тех или иных фактов.

Вам нужно проанализировать заявления вашей соседки (посредством обращения к адвокату), только сделав это можно сказать есть перспектива или нет.

В принципе, можно. Вам надо составить исковое заявление, подать его в суд в соответствии с правилами подсудности, приложить все подтверждающие документы, в дальнейшем ходить на судебные заседания. Возможно это сделать с помощью юриста, который представит Ваши интересы, вероятность успешного разрешения вопроса будет в таком случае большей.