Возможно ли оформить нотариально заверенное письмо отца о передаче прав и обязанностей по содержанию ребёнка без постановления суда?

Да, этот документ существует. И юридически верно он называется соглашение о порядке воспитания несовершеннолетнего ребенка. Соглашение действительно и при простом подписании его сторонами, но можно подписи заверить у нотариуса.

Другой вопрос, а что если отец все равно не будет выполнять необходимых действий и процедур независимо от подписания соглашения?

"Письмо о передаче всех обязанностей" - это какой-то нонсенс! поскольку это просто невозможно, следует сделать вывод и о юридической грамотности того, кто составлял данный проект "письма". Обязанности лежат на родителе даже в случае лишения родительских прав. Есть соглашение о порядке воспитания ребенка, где можно указать, что отец обязуется не препятствовать выездам матери с ребенком за границу, однако при оформлении очередной визы в зарубежную страну всякий раз будут требовать согласия отца в отношении данной конкретной страны. Между тем если ребенок выезжает за рубеж в сопровождении одного из родителей, согласия второго родителя на его выезд не требуется (ст. 20 Закона о порядке выезда из РФ м въезда в РФ). Какие-либо проблемы могут возникнуть только в том случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации (ст. 21 указанного закона). Кроме того, некоторые страны при оформлении визы требуют разрешение от второго родителя. С уважением,