Могу ли я прописать после рождения родного внука у себя в доме?

Можете прописать.

Толькотс одним из родителей

ели кто-то из родителей зарегистрирован, то можете зарегистрировать внука.

В Гражданском Кодексе РФ, в статье 20 указано, что местом жительства несовершеннолетнего лица является та жилплощадь, на которой зарегистрирован его мать или отец. При их отсутствии – официальный опекун. В случае если родители малыша прописаны по разным адресам, ребенок может быть зарегистрирован в любой из квартир по обоюдному согласию сторон. Как прописать ребенка по месту прописки отца рассказывает эта статья. Без наличия регистрации у родителей, малыша можно прописать к его бабушке. Однако в этом вопросе есть свои юридические тонкости.Являясь единоличным собственником жилья, бабушка имеет полное право прописать в своей квартире внука — нужно лишь заключить договор с одним из родителей, который должен вселиться в квартиру вместе с ребенком, о безвозмездном пользовании жильем. Если же собственников помещения несколько, необходимо одобрение каждого из них. Согласие всех прописанных в квартире лиц имеет важность, если речь идет о приватизированном жилье бабушки. Согласие заверяется нотариусом в УФМС России.

В Гражданском Кодексе РФ, в статье 20 указано ,Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов.