Знаю, что после 3 мес исп срока - должны устроить по трудовой, будет ли работодатель идти на это?

Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя (ст.61 ТК РФ).

Таким образом, допустив Вас к работе работодатель заключил с Вами трудовой договор и обязан оформить его документально, а также внести соответствующую запись в трудовую книжку.

Установление испытания (испытательного срока) не отменяет обязанности работодателя документально оформить заключение трудового договора уже сейчас.

Трудовые отношения возникают между работником и работодателем на основании трудового договора, заключаемого ими в соответствии с настоящим Кодексом. Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен. (ст. 16 ТК РФ) Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. (ст. 67 ТК РФ).