Мне отказали о приёме на работу без регистрации. Имеют ли они на это право? И как быть дальше? Что делать?

Не имеют права. Требуйте письменного отказа.

Жалуйтесь в инспекцию труда.

В соответствии с абз. 1 ч. 1 ст. 356 ТК РФ, федеральная инспекция труда осуществляет федеральный государственный надзор и контроль за соблюдением работодателями трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, посредством проверок, выдачи обязательных для исполнения предписаний об устранении нарушений, составления протоколов об административных правонарушениях в пределах полномочий, подготовки других материалов (документов) о привлечении виновных к ответственности в соответствии с федеральными законами и иными нормативными правовыми актами Российской Федерации.

Согласно абз. 6 ч. 1 ст. 357 ТК РФ, государственные инспекторы труда при осуществлении федерального государственного надзора за соблюдением трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, имеют право предъявлять работодателям и их представителям обязательные для исполнения предписания об устранении нарушений трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, о восстановлении нарушенных прав работников, привлечении виновных в указанных нарушениях к дисциплинарной ответственности или об.

Мне отказали о приёме на работу без регистрации

Правильно отказали, они не намерены платить штрафы по КоАП РФ,за то что приняли на работу лицо нарушающее паспортный режим.