На каких основаниях отказали в выплате подъемных по новому контракту семье после перевода в другой военный округ?

Вам положены подъемные не в связи с заключением нового контракта, а в связи с прибытием к новому месту службы при переводе в 2016 году.

Федеральный закон от 7 ноября 2011 г. N 306-ФЗ "О денежном довольствии военнослужащих и предоставлении им отдельных выплат"

Статья 3. Отдельные выплаты военнослужащим

2. Военнослужащим, проходящим военную службу по контракту, в том числе поступившим на военную службу по контракту из запаса, при переезде на новое место (к месту) военной службы в другой населенный пункт, в том числе на территорию или с территории иностранного государства, в связи с назначением на воинскую должность, поступлением на военную службу по контракту, зачислением в военную профессиональную образовательную организацию или военную образовательную организацию высшего образования, срок обучения в которой превышает один год, или в связи с передислокацией воинской части производятся следующие выплаты:

1) подъемное пособие - в размере одного оклада денежного содержания на военнослужащего и одной четвертой оклада денежного содержания на каждого члена семьи, переехавшего на новое место (к месту) военной службы военнослужащего или в близлежащий от указанного места населенный пункт либо в другие населенные пункты (из-за отсутствия жилого помещения);

2) суточные на военнослужащего и каждого члена его семьи, переезжающих в связи с переводом военнослужащего на новое место военной службы, за каждый день нахождения в пути - в размере, установленном Правительством Российской Федерации для военнослужащих, направляемых в служебные командировки.

Так дело в том что они сказали что он там был в одной части а тут другая часть. Сказали если бы была одна и та же часть, то тогда мог получить. А так переведен из одной части в другую, то не может быть выплачено пособие.