Нужно ли сдавать экзамен по русскому языку гражданину Белоруссии для получения гражданства РФ?

Здравствуйте, нет, не нужно. Согласно ст. 15.1 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»

5.От подтверждения владения русским языком, знания истории России и основ законодательства Российской Федерации при подаче заявления о выдаче разрешения на временное проживание или вида на жительство освобождаются: 8) иностранные граждане, являющиеся гражданами Союзного государства, образованного Российской Федерацией и Республикой Беларусь.

Также можете посмотреть и это:

Согласно пункта 10 Указа Президента РФ от 14 ноября 2002 г. № 1325 «Об утверждении Положения о порядке рассмотрения вопросов гражданства Российской Федерации»: Заявитель также представляет документ, подтверждающий его владение русским языком на уровне, достаточном для общения в устной и письменной форме в условиях языковой среды. Владение русским языком на указанном уровне подтверждается одним из следующих документов:

документом об образовании, выданным на территории иностранного государства, в котором русский язык является одним из государственных языков (для граждан этого государства);

Нет, не должны. В 2015 году вносились изменения в Федеральный закон от 25.07.2002 № 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации"

5. От подтверждения владения русским языком, знания истории России и основ законодательства Российской Федерации при подаче заявления о выдаче разрешения на временное проживание или вида на жительство освобождаются:

8) иностранные граждане, являющиеся гражданами Союзного государства, образованного Российской Федерацией и Республикой Беларусь.