Как доказать директору школы, что она обязана предоставить нам место, несмотря на переполненность классов?

Здравствуйте, согласно закону директор может отказать, указывая, что нет мест в школе. Но вообще требуйте от нее письменный отказ, говорите, что будете жаловаться в вышестоящие инстанции.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 07.03.2018) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 67. Организация приема на обучение по основным общеобразовательным программам

4. В приеме в государственную или муниципальную образовательную организацию может быть отказано только по причине отсутствия в ней свободных мест, за исключением случаев, предусмотренных частями 5 и 6 настоящей статьи и статьей 88 настоящего Федерального закона. В случае отсутствия мест в государственной или муниципальной образовательной организации родители (законные представители) ребенка для решения вопроса о его устройстве в другую общеобразовательную организацию обращаются непосредственно в орган исполнительной власти субъекта Российской Федерации, осуществляющий государственное управление в сфере образования, или орган местного самоуправления, осуществляющий управление в сфере образования.

Здравствуйте. В вашем случае к сожалению никак. Это единственное основание для отказа которое предусмотрено законом, и в действиях директора нет нарушений закона.

Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 07.03.2018) "Об образовании в Российской Федерации"

Статья 67. Организация приема на обучение по основным общеобразовательным программам

4. В приеме в государственную или муниципальную образовательную организацию может быть отказано только по причине отсутствия в ней свободных мест.